概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 - 三角函数

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

四、三角函数与恒等变形

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

?如与角?1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

5（答：?25；??）

36（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). （3）?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). （4）?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). （5）?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).

（6）?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：

?k???k??,k?Z；?终边在坐标轴上的角可表示为：??,k?Z.

22?如?的终边与的终边关于直线y?x对称，则?＝____________。

6?（答：2k??,k?Z）

34、?与?的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

2?如若?是第二象限角，则是第_____象限角

2（答：一、三）

5.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3.

22如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：2cm2）

6、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原

yxy点），它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??,cos??，tan??,?x?0?。三角函数值

rrx只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。

如（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。

7（答：?）；

132m?3（2）设?是第三、四象限角，sin??，则m的取值范围是_______

4?m3（答：（－1，)）；

21

（3）若

|sin?|cos???0，试判断tan(sin?)?tan(cos?)的符号 sin?|cos?|（答：负）

7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

y ? T S 如（1）若????0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为_____ B 8P (答：tan??sin??cos?)； α A x O M （2）若?为锐角，则?,sin?,tan?的大小关系为_______

（答：sin????tan?）； （3）函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______ ?2?](k?Z)） （答：(2k??,2k??338.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75° sin? 1 22 22 21 1 3 21 20 1 0 1 0 0 0 －1 0 －1 0 0 6?2 46?2 42-3 2+3 6?2 46?2 42+3 2-3 cos? tan? 3 23 33 3 3cot? 3 9. 同角三角函数的基本关系式： ⑴平方关系：sin2??cos2??1

sin?⑵商数关系：tan??

cos?同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

sin??tan?如（1）函数y?的值的符号为____

cos??cot?（答：大于0）；

（2）若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____

?（答：[0,]4（3）已知sin??m?34?2m?(????)，则tan?＝____ ，cos??m?5m?523[?,?]）； 4（答：?（4）已知

tan?sin??3cos???1，则＝___；sin2??sin?cos??2＝____

tan??1sin??cos?2

5）； 12（答：?（5）已知sin200??a，则tan160?等于

513；）； 351?a21?a2 A、? B、 C、? D、

22aa1?a1?aaa（答：B）；

（6）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______

（答：－1）。

k10.三角函数诱导公式（???）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），

2符号看象限（看原函数，同时可把?看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k?+?,0???2?；(2)转化为锐角三角函数。

9?7??tan(?)?sin21?的值为________ 如（1）cos4623（答：）； ?234（2）已知sin(540???)??，则cos(??270?)?______，

5[sin(180???)?cos(??360?)]2若?为第二象限角，则?________。 ?tan(180??)43

（答：?；?）

100511、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?

cos??????cos?cos?　tan??????令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2?　　　　　　　?cos2?＝1tan?tan?21?cos2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?sin2?＝22tan?　　　tan2??1?tan2?1如⑴下列各式中，值为的是

2 A、sin15cos15 B、cos2

?12?sin2?12 C、

tan22.51?cos30 D、 1?tan222.52 （答：C）；

⑵已知sin(???)cos??cos(???)sin??3，那么cos2?的值为____ 5（答：

⑶

13的值是______ ?sin10sin807）； 25（答：4）；

3

⑷已知tan1100?a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是a?3，

1?3a1?a2乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

2a（答：甲、乙都对）

12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角一次一函数。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，

??????????????等），， ????2?22222?1?如1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____

54443（答：）；

22??1?22）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)的值

22923490（答：）；

72933）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与x的函数关系为______

534（答：y??1?x2?x）

55(2)三角函数名互化

如 1）求值sin50(1?3tan10)

（答：1）；

sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值 2）已知

1?cos2?31（答：）

8(3)公式变形使用（tan??tan??tan??????1tan?tan??。

????如1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____

（答：?2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?2）； 23，则此三角形是____三角形 4（答：等边）

1?cos2?1?cos2?(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos2??，sin2??与升幂公式：

221?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。

31111如1)若??(?,?)，化简??cos2?为_____

22222（答：sin4

?）； 2