第2讲 数列专题

2017届 文科数学培优 2015年12月26日 第2讲 数列综合专题

一、知识梳理

一、

2、解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3、数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 4、一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．

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2017届 文科数学培优 2015年12月26日 5、两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 6、三种思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想． 二、例题精讲

1、（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列?an?的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则

a1?a2?…?a10?( )

（A）15 (B)12 （C）?12 (D) ?15 【思路点拨】观察数列?an?的性质，得到a1?a2?a3?a4???a9?a10?3. 【精讲精析】选A. a1?a2?a3?a4???a9?a10?3.故a1?a2???a10?15. 2、（2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同下面是关于公差d?0的等差数列?an?的四个命题：

p1:数列?an?是递增数列；p2:数列?nan?是递增数列；

?a?p3:数列?n?是递增数列；p4:数列?an?3nd?是递增数列；

?n?其中的真命题为（ ）

A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4

【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列

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2017届 文科数学培优 2015年12月26日 【解析】选D.

3、（2013·江西高考文科·Ｔ12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 .

【解题指南】转化为等比数列前n项和的问题.

【解析】记第n天植树的棵树为an，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比

2(1?2n)?100得n=6. 数列，解sn?1?2【答案】6

4、（2012·湖北高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b2 012是数列{an}中的第______项. （2）b2k-1=______（用k表示）.

5、（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和. （1）求通项公式an及Sn.

（2）设{bn?an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等比数列的前n项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前n项和公式计算.（2）直接套用等比数列的通项公式求出{bn?an}的通项，再求数列{bn}的通项公式及前n项和.

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2017届 文科数学培优 2015年12月26日 【规范解答】（1）因为{an}是首项为19，公差为-2的等差数列， 所以an?19?2(n?1)??2n?21，即an??2n?21.

Sn?19n?n(n?1)(?2)??n2?20n，即Sn??n2?20n. 2（2）因为{bn?an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn?an?3n?1，即

bn?3n?1?an=3n-1-2n+21，

所以Tn?b1?b2???bn?(30?a1)?(3?a2)???(3n?1?an)

1?1(1(1??33nn)3n?122?n?20n??n?20n. ?(3?3???3)?(a1?a2???an)??11??3320n?1【方法技巧】在求Tn时，巧妙的利用（1）中的和Sn??n2?20n可以快速解题.

116、（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{an}中，a1=，公比q?.

331?an（1）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn?.

2（2）设bn?log3a1?log3a2?????log3an，求数列{bn}的通项公式.

【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出Sn,an，然后证明等式Sn?1?an成立； 2（2）利用对数的性质化简bn，即得{bn}的通项公式.

11()3n?1【精讲精析】（1）?an?1?an. 23?(1)3n111(1-n)1-n33?3 ，Sn?121-3?Sn?（2）bn?log3a1?log3a2?????log3an

n(n+1). 2n(n+1)?数列{bn}的通项公式为bn=-. 2=-(1+2+3+...+n)=-7、（2013·山东高考文科·Ｔ20）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

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