题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例2(2018·镇江期末)在平面直角坐标系xOy中，曲线C??x＝acosφ，
的参数方程为?
?y＝bsinφ?
π
(a>b>0，φ为参数)，且曲线C上的点M(2，3)对应的参数φ＝，以O为极点，x轴的正
3半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的普通方程；
π?11?(2)若曲线C上的A，B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B?ρ2，θ＋?，求2＋2的值． 2?ρ1ρ2?π
解 (1)将M(2，3)及对应的参数φ＝，
3代入?
?x＝acosφ，?
??y＝bsinφ
(a>b>0，φ为参数)，
π2＝acos，??3得?π
3＝bsin，??3
x2
4
??a＝4，
∴?
?b＝2.?
＋
∴曲线C1的普通方程为＋＝1. 164(2)曲线C1的极坐标方程为
y2
ρ2cos2θρ2sin2θ16
4
＝1，
π??将A(ρ1，θ)，B?ρ2，θ＋?， 2??代入得
2222
ρ1cosθρ1sinθ16
＋＝1，
2222
ρ2sinθρ2cosθ16
＋4
＝1，
9
∴
1
ρ1
2＋
5＝. ρ2162
1
思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．
??x＝tcosα，
?跟踪训练2在直角坐标系xOy中，曲线C1：
?y＝tsinα?
(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π，
在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝23cosθ. (1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值．
解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x＋y－23x＝0.
2
2
2
2
?x＋y－2y＝0，
联立?22
?x＋y－23x＝0，
22
解得?
?x＝0，???y＝0，
3
?x＝?2，或?
3y＝??2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
?33?，?. ?22?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)． π????所以AB＝|2sinα－23cosα|＝4?sin?α－??. 3????5π
当α＝时，AB取得最大值，最大值为4.
6
10
2
?x＝t－?2
1．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?
2y＝??2t2，
(t为参数)，
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．
解 ∵直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0， ∴原点到直线l的距离d＝
22＝1.
∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1. 2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?x＝2t，???y＝2t2
(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为
ρsin?θ＋?＝22，求曲线C1与曲线C2的交点个数．
4
??
π??
解 曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x＝2y，x＋y－4＝0，联立
??x＝2y，?
?x＋y－4＝0，?
2
2
消去y，得x＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故
2
曲线C1与曲线C2的交点个数为2.
?3．(2018·江苏省苏州市第五中学模拟)已知点P在曲线C：
?x＝4cosθ，?
??y＝3sinθ
(θ为参数)上，
11
2
?x＝3＋t，?2
直线l：?
2
y＝－3＋t??2
(t为参数)，求P到直线l的距离的最小值．
解 将直线l化为普通方程为x－y－6＝0， 则P(4cosθ，3sinθ)到直线l的距离
d＝|4cosθ－3sinθ－6||5cos?θ＋φ?－6|
＝，
22
3
其中tanφ＝. 4
所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmin＝即点P到直线l的距离的最小值为
2， 22. 2
??
4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?
3y＝??2t为参数)，椭圆C的参数方程为?两点，求线段AB的长．
解 直线l的参数方程化为普通方程为3x－y－3＝0， 椭圆C的参数方程化为普通方程为x＋＝1，
4
2
x＝1＋t，
12
(t??x＝cosθ，??y＝2sinθ
(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，By2
??3x－y－3＝0，
联立方程组?2y2
x＋＝1，?4?
?x1＝1，?
解得?
??y1＝0，
1
x＝－，?7??83y＝－，??7
22
83??1
不妨取A(1,0)，B?－，－?，
7??7则AB＝
?1＋1?2＋?83?2＝16.
?7??0＋?7???7?
12
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