导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题
任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。
例1. [2013湖北理10] 已知a为常数，函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
11 B. f(x1) ＜0，f(x2)＜? 2211C. f(x1) ＞0，f(x2)＜? D. f(x1) ＜0，f(x2)＞?
22A.f(x1) ＞0，f(x2)＞?
例2. [2012全国文21] 设函数f(x)?ex?ax?2. （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若a?1，k为整数，且当x＞0时，(x?k)f'(x)?x?1＞0，求k的最大值。
k的最大值=2
任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数f(x)?1?lnx. 2x（Ⅰ）求函数f(x)的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线y?
提示解析：（Ⅰ）函数f(x)的零点为x?e，单调减区间(0,e)；单调增区间(e,??)；
（Ⅱ）y?3232lnx存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜?1 xlnx0lnx)处导数为6，于是存在斜率为6的切线即存在点(x0,x0x1?lnx0?6，即1?lnx0?6x02?0，令f(x)?1?lnx?6x2为增函数，易判断所2x0lnx01?6x0211以x0?(,1)，所以y0????6x0为减函数，所以
2x0x0x0y0?y0|x0?12?2?3??1
1
2.2 [2013全国Ⅱ理21] 设函数f(x)?ex?ln(x?m).
（Ⅰ）若x＝0是f(x)的极值点，求m＞0，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，求证：f(x)＞0.
任务三、完成下面问题，体验隐零点问题解题的运用，提高解题能力。 2．3. [2016广州一模理21] 已知函数f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2． （Ⅰ）若曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线斜率为1，求实数m的值； （Ⅱ）当m?1时，证明：f?x??g(x)?x3.
（Ⅰ）解：因为f(x)?emx+m?x3，所以f?(x)?ex+m?3x2.………………………1分
因为曲线y?f?x?在点0，f?0?处的切线斜率为1，
所以f??0??e?1，解得m?0.…………………………………………………2分 （Ⅱ）证法一：因为f(x)?ex+mx+m???x3,g?x??ln?x?1??2，
所以f?x??g(x)?x3等价于e当m?1时，e要证ex+mx+m?ln?x?1??2?0．
?ln?x?1??2?ex?1?ln?x?1??2．
x?1?ln?x?1??2?0，只需证明ex?1?ln(x?1)?2?0.………………4分
?ln(x?1)?2?0．
x?1以下给出三种思路证明e思路1：设h?x??e设p?x??ex?1??ln?x?1??2，则h??x??ex?1?1. x?111，则p??x??ex?1??0． 2x?1?x?1?1在??1，+??上单调递增．…………………6分 x?1所以函数p?x??h??x??ex?1?11??因为h?????e2?2?0，h??0??e?1?0，
?2?1?1?所以函数h??x??ex?1?在??1，+??上有唯一零点x0，且x0???,0?. 8分
x?1?2?1x+1因为h??x0??0，所以e0?，即ln?x0?1????x0?1?.………………9分
x0?1当x???1,x0?时，h??x??0；当x??x0,???时，h??x??0，
所以当x?x0时，h?x?取得最小值h?x0?.………………………………………10分
2
所以h?x??h?x0?=e0?ln?x0?1??2?x?11??x0?1??2?0. x0?1综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 思路2：先证明ex?1?x?2?x?R?．……………………………………………5分 设h?x??ex?1?x?2，则h??x??ex+1?1．
因为当x??1时，h??x??0，当x??1时，h??x??0，
所以当x??1时，函数h?x?单调递减，当x??1时，函数h?x?单调递增． 所以h?x??h??1??0．
所以ex?1?x?2（当且仅当x??1时取等号）．…………………………………7分 所以要证明ex?1只需证明?x?2??ln(x?1)?2?0．………………………………………………8分 下面证明x?ln?x?1??0．
?ln(x?1)?2?0，
1x． ?x?1x?1当?1?x?0时，p??x??0，当x?0时，p??x??0，
设p?x??x?ln?x?1?，则p??x??1?所以当?1?x?0时，函数p?x?单调递减，当x?0时，函数p?x?单调递增． 所以p?x??p?0??0．
所以x?ln?x?1??0（当且仅当x?0时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同，所以ex?1?ln(x?1)?2?0．
综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 （若考生先放缩ln?x?1?，或ex、ln?x?1?同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明etx?1?ln(x?1)?2?0．
令t?x?1，转化为证明et?lnt?2?t?0?．……………………………………5分 因为曲线y?e与曲线y?lnt关于直线y?t对称，
t设直线x?x0?x0?0?与曲线y?e、y?lnt分别交于点A、B，点A、B到直线y?t的距离分别为d1、d2，则AB?2?d1?d2?．
?x0?0?．
22①设h?x0??ex0?x0?x0?0?，则h??x0??ex0?1．
其中d1?，d2?因为x0?0，所以h??x0??ex0?1?0．
所以h?x0?在?0,???上单调递增，则h?x0??h?0??1． 所以d1?ex0?x02?2． 23
ex0?x0x0?lnx0
②设p?x0??x0?lnx0?x0?0?，则p??x0??1?1x0?1． ?x0x0因为当0?x0?1时，p??x0??0；当x0?1时，p??x0??0， 所以当0?x0?1时，函数p?x0??x0?lnx0单调递减； 当x0?1时，函数p?x0??x0?lnx0单调递增． 所以p?x0??p?1??1．所以d2?x0?lnx02?22??所以AB?2?d1?d2??2???2??2． 2???2． 2综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3.……………………………………12分 证法二：因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2，
x+m所以f?x??g(x)?x3等价于e以下给出两种思路证明e思路1：设h?x??e设p?x??ex+m?x+mx+m?ln?x?1??2?0．…………………………4分
1. x?1?ln?x?1??2?0．
?ln?x?1??2，则h??x??ex+m?11，则p??x??ex+m??0． 2x?1?x?1?1在?-1，+??上单调递增．………………6分 x?1?m所以函数p(x)?h??x??ex+m?因为m?1，所以h??1?e所以函数h??x??ex+m???m??e?1?e+m?em?eme?1?e?1?0，h??0??em?1?0.
??m?1在?-1，+??上有唯一零点x0，且x0??1?e?m,0. x?1?? …8分
因为h??x0??0，所以ex0+m?1，即ln?x0?1???x0?m．………………9分 x0?1当x??0,x0?时，h??x??0；当x??x0,???时，h??x??0.
所以当x?x0时，h?x?取得最小值h?x0?．……………………………………10分 所以h?x??h?x0??e0x+m?ln?x0?1??2??1?x0?m?2 x0?11??x0?1??m?3?0． x0?1综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3．……………………………………12分 思路2：先证明e?x?1(x?R)，且ln(x?1)?x(x??1)．…………………5分 设F(x)?e?x?1，则F?(x)?e?1．
因为当x?0时，F?(x)?0；当x?0时，F?(x)?0，
4
xxx
所以F(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增． 所以当x?0时，F(x)取得最小值F(0)?0．
所以F(x)?F(0)?0，即e?x?1(x?R)．…………………………………7分 所以ln(x?1)?x（当且仅当x?0时取等号）．…………………………………8分 再证明exxx+m?ln?x?1??2?0．
由e?x?1(x?R)，得ex?1?x?2（当且仅当x??1时取等号）．…………9分 因为x??1，m?1，且ex?1?x?2与ln(x?1)?x不同时取等号， 所以 ex+m?ln?x?1??2?em?1?ex?1?ln?x?1??2
?em?1(x?2)?x?2?(em?1?1)(x?2)?0．
综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3．……………………………………12分
5
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