平面向量公式
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a.
向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方. a⊥b 〈=〉a?b=0. |a?b|≤|a|?|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c. 3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b. 4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0. 向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0. 向量的向量积运算律 a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣. ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号. 定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比. 若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是 xy'-x'y=0. 零向量0平行于任何向量. 向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0. a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0. 零向量0垂直于任何向量.
1、线性运算
①a+b=b+a ②(a+b)+c=a+(b+c) ③λ(μa)=(λμ)a. ④(λ+μ)a=λa+μa. ⑤λ(a±b)=λa±λb ⑥a,b共线→b=λa
2、坐标运算,其中a（x1,y1）, b(x2,y2)
①a+b=( x1+x2,y1+y2) ②a-b=( x1-x2,y1-y2) ③λa=(λx1,λy1) ④点A(a,b)，点B(c,d),则向量AB=（c-a,b-d） ⑤点A(a,b)，点B(c,d),则向量BA=（a-c,b-d） 3、数量积运算
①a*b=∣a∣*∣b∣*cosθ ②a*b=b*a (交换律) ③(λ*a)*b=λ*(a*b) =a* (λ*b)（结合律，注意向量间无结合律） ④(a±b)*c=a*c±b*c（分配律） ⑤若a*(b-c)=0,则b=c或a垂直于（b-c）
⑥(a±b)2=a2±2a*b+b2 ⑦(a+b)*(a-b)=a2-b2 ⑧a（x1,y1）, b(x2,y2),则a*b=x1x2+y1y2,∣a∣2 =x2+y2,∣a∣=√x2+y2 a垂直于b→x1x2+y1y2=0；一般地，a与b夹角θ满足如下条件： cosθ=a*b/∣a∣*∣b∣=(x1x2+y1y2)/(√
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