钒和稀土对铝合金性能的影响的研究

§5 模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解 1．对问题的分析

问题一要求分别建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系。考虑到数据点较少，我们采用不超过三次的多项式函数在Excel中进行拟合，取拟合优度最佳的多项式为符合要求的函数关系模型。 2．对问题的求解 模型Ⅰ多项式函数模型

⑴ 模型的准备

可决系数：回归平方和（ESS）在总变差（TSS）中所占的比重称为可决系数， 可决系数可以作为综合度量回归模型对样本观测值拟合优度的度量指标。可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。

⑵ 模型的建立和求解

考虑到多项式函数的稳定性随着多项式阶数的增大而减少，故在Excel中做不超过三次的多项式拟合，最佳结果如图2，图3，图4。

v与抗拉强度y = 32333x3 - 11450x2 +1031.7x + 133R2 = 1系列1多项式 (系列1)20015010050000.10.20.3

图2 v与抗拉强度拟合函数

108642000.1v与延伸率y = -308.73x2 + 64.916x +4.5144R2 = 0.9666系列1多项式 (系列1)0.20.3

图3 v与延伸率拟合函数

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15010050000.1v与热裂倾向32y = -47000x + 16250x - 1275x+ 1122R = 1系列1多项式 (系列1)0.20.3

图4 v与热裂倾向拟合函数

结论：拟合优度均接近1，函数模型符合要求，故单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系分别为：

32f1?32333x1?11450x1?1031.7x1?133； f2??308.73x1?64.916x1?4.5144；

232f3??47000x1?16250x1?1275x1?112；

二、问题二的分析与求解 1．对问题的分析

问题二可分为两个部分求解：

第一部分要求分别研究对该合金单独添加稀土的数量约为多少时，产品的抗拉强度达到最大，延伸率达到最大，热裂倾向值HCS达到最小。可按照问题一模型建立铝合金各性能与稀土添加量的函数关系，然后分别求出稀土添加量在一定范围内各性能的极值。

第二部分要求得出单独添加稀土的数量约为多少时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响。考虑到整体影响的要求，我们建立了模糊综合评价模型把三个指标归为一个整体指标。然后对第一部分求出的三个函数关系进行一定范围内处理得出一系列方案，最后根据建立的评价模型得出最优方案即符合要求的解。 2．对问题的求解

1）独立性能效果最优

在Excel中做多项式拟合最佳结果见图5，图6，图7。

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re与抗拉强度20015010050000.10.2y = 9015.1x3 - 5590.6x2 +905.9x + 132.212R = 0.8978系列1多项式 (系列1)多项式 (系列1)0.3

图5 re与抗拉强度拟合函数

re与延伸率108642000.10.2y = 1265.4x3 - 660.1x2 +93.442x + 4.5899R2 = 0.9702系列1多项式 (系列1)多项式 (系列1)0.3

图6 re与延伸率拟合函数

re与HCS15010050000.10.2y = 6500.7x3 + 484.5x2 -512.21x + 112.062R = 0.9818系列1多项式 (系列1)多项式 (系列1)0.3

图7 re与抗拉强度拟合函数

拟合优度均接近1，函数模型符合要求，故单独添加微量的稀土时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系分别为：

32f1?9015x2?5590.6x2?905.9x?132.21；

f2?1265.4x2?660.1x2?93.442x2?4.5899； f3?6500.7x2?484.5x2?512.21x2?112.06；

查询资料知，铝合金中超过0.3wt%的稀土添加会大大影响性能，故稀土的取值范围设定为0~0.3。利用MATLAB对上述函数求解得出符合要求的极值教案表1.（程序见附录2-1）

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表1 最优性能稀土添加表

抗拉强度 延伸率 HCS re含量（wt%） 0.1106 0.0989 0.1391 性能最优值 176.2128 8.5988 67.6822

2）整体性能效果最优 模型Ⅱ 模糊综合评价模型

⑴ 模型的准备

根据问题二的第一部分求出的产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系，利用MATLAB软件，根据问题二第一部分得出的函数关系式，可以将稀土含量在取值为0-0.3之间按步长为0.01依次取得抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS值，对应依次做出31个方案见表2。（具体程序见附录2）

表2 综合评价模型方案表

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抗拉强度 132.21 140.7189551 148.1638808 154.5988677 160.0780064 164.6553875 168.3851016 171.3212393 173.5178912 175.0291479 175.9091 176.2118381 175.9914528 175.3020347 174.1976744 172.7324625 延伸率 4.5899 5.4595754 6.2048232 6.8332358 7.3524056 7.769925 8.0933864 8.3303822 8.4885048 8.5753466 8.5985 8.5655574 8.4841112 8.3617538 8.2060776 8.024675 HCS 112.06 106.9928507 102.0616056 97.3052689 92.7628448 88.4733375 84.4757512 80.8090901 77.5123584 74.6245603 72.1847 70.2317817 68.8048096 67.9427879 67.6847208 68.0696125 序号 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 抗拉强度 170.9604896 168.9358463 166.7126232 164.3449109 161.8868 159.3923811 156.9157448 154.5109817 152.2321824 150.1334375 148.2688376 146.6924733 145.4584352 144.6208139 144.2337 延伸率 7.8251384 7.6150602 7.4020328 7.1936486 6.9975 6.8211794 6.6722792 6.5583918 6.4871096 6.466025 6.5027304 6.6048182 6.7798808 7.0355106 7.3793 HCS 69.1364672 70.9242891 73.4720824 76.8188513 81.0036 86.0653327 92.0430536 98.9757669 106.9024768 115.8621875 125.8939032 137.0366281 149.3293664 162.8111223 177.5209 ⑵ 模型的建立 ○1建立理想方案

设有U??u1,u2,?,un?是待评价的n个方案集合，V??v1,v2,?,vm?是评价指标集合，将U中的每个方案用V中的每个指标进行衡量，得到一个观测矩阵：

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