投影的基本知识

第二章 投影的基本知识

一、投影概念

在投影面上作出物体投影的方法，称为投影法。 二、投影的分类

投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。

.中心投影法 所有投影线都相交于投影中心的投影方法。

平行投影法 由互相平行的投影线在投影面上作出物体投影的方法。 按投影线与投影面是否垂直，可分为斜投影法和正投影法两种。 (1)斜投影法：投影线倾斜于投影面的平行投影法。 (2)正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法。

特点：其投影反映了物体的真实形状和大小，并且与物体到投影面的距离无关。所以建筑图样一般均采用这种投影法绘制，所得的投影称为正投影，简称投影。 1、正投影法概念： 投影线垂直于投影面的平行投影法。 2 、正投影的基本特性：

1）真实性----平行于投影面的物体，投影反映实形；

2）积聚性 ----垂直投影面的平面或直线，其投影积聚成直线或一点； 3）类似性 ----物体上的平面与投影面倾斜时，其投影为缩小的类似形 ； 4）从属性 ---- 直线或平面上的点，其投影仍在直线或平面的投影上。

真实性、积聚性、类似性和从属性是正投影的四个重要特性，在画图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。 三、三面投影图

1、三面投影图的形成

我们将形体正放在三个互相垂直的投影面之间，并分别向三个投影面进行投影，就能得到该形体在三个投影面上的投影图，将这三个投影图结合起来观察，就能准确地反映出该形体的形状和大小。 这三个互相垂直的投影面分别为水平投影面（或称H面，用字母H表示）、正立投影面（或称V面，用字母V表示）和侧立投影面（或称W面，用字母W表示）。这三个投影面组合起来就构成了三面投影体系（三投影面体系）。三个投影面两两相交构成的三条轴称为OX、OY、OZ轴，且OX⊥OY⊥OZ，三条轴的交点O称为原点。形体在三个投影面上的投影分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。

注：OX轴的正方向为水平向左，OY轴的正方向为正对观察者，OZ轴的正方向为铅直向上。 2、三面投影图的展开

因为形体的三个投影分别在三个不共面的平面上，因此无法绘制在同一平面图纸上，为此，需将三个投影面进行展开，使其共面。

展开方法：V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90度，将W面绕OZ轴向后旋转90度，则三个投影面就展开到一个平面上。形体的三个投影就可以在一张平面图纸上画出来了。这样所得的图形，称为形体的三面投影图，简称投影图。

三面投影图展开后，去掉投影面的边框，三条轴成了两条互相垂直的直线，原来的OX轴、OZ轴的位置不动，OY轴一分为二，成为OYH和OYW轴。 四、三面投影图的基本规律

设轴向X、Y、Z分别表示形体的长、宽、高方向，则 水平投影反映出形体的长和宽以及左右、前后关系； 正面投影反映出形体的长和高以及左右、上下关系； 侧面投影反映出形体的宽和高以及前后、上下关系； 由上面分析可知：

水平投影和正面投影都反映出形体的长度，且左右是对齐的，简称“长对正”；

正面投影和侧面投影都反映出形体的高度，且上下是对齐的，简称“高平齐”； 水平投影和侧面投影都反映出形体的宽度，简称“宽相等”；

因此，三面投影图的三个投影之间的关系可以归结为“长对正、高平齐、宽相等”，简称“三等关系”。

三面投影图与投影轴的距离，反映出形体与三个投影面的距离，与形体本身的形状无关，因此作图时一般可不必画出投影轴。 五、点的三面投影

1、点的三面投影的形成

在三投影面体系内有一点A，根据正投影法，点A在三个投影面上的投影分别用a（水平投影）、a′(正面投影)、a〞（侧面投影）表示，如下图所示。

2、规定：空间点用大写字母标记，其水平投影用相应的小写字母标记；正面投影用相应的小写字母右上角加一撇标记；侧面投影用在相应的小写字母右上角加两撇标记。

为了将空间三个投影面上的投影画在同一平面上，规定：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，与V面重合，W面绕OZ轴向后旋转90°，与V面重合，去掉投影面的边框，只画出投影轴，得到展开后点A的三面投影图，如下图所示。

3、点的投影规律

由图2-8(a)可知，过A点的3根投影线，每两根确定一个与相应投影轴垂直的平面，这三个平面分别与三投影轴相交于aX、aY、aZ。这3个平面与3个投影轴构成一个长方体Aa/aZa//–––aaXOaY。根据长方体的几何性质可以得到点的三面投影规律如下：

①点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴(a/a⊥OX)，即a/a是一条铅垂线。 ②点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴(a/a//⊥OZ)，即a/a//是一条水平线。

③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=a//aZ，都等于点到V面的距离。

这三项正投影规律，就是称之为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系。 在投影图中，怎样表达aaX=a//aZ这一关系？

借助于一条过原点O，并倾斜45度的辅助线来表达。

根据上述规律，在点的三面投影图中，如果已知点的任意两面投影，就可求出点的第三面投影。 思考题：已知点C的水平投影c为已知，并知正面投影c/在X轴上，请问其侧面投影c//应在YH上，还是在YW上？（在YW上）

4、点的三面投影与该点直角坐标的关系

在工程上，有时也用坐标法来确定点的空间位置。如果把直角三投影面体系看作为空间直角坐标系，则投影面H、V、W面即为坐标面，投影轴X、Y、Z即为坐标轴，投影原点即为坐标原点。 如图2-10所示，空间有一确定位置的点A，它必有唯一确定的直角坐标xA、yA、zA。将空间点A

分别向三投影面作投影得a、a/、a//。从图中可看出： A点的X坐标：xA?OaX?aYa?aZa/?Aa//； A点的Y坐标：yA?OaY?aZa//?aXa?Aa/； A点的Z坐标：zA?OaZ?aXa/?aYa//?Aa； 即：点A的X坐标反映点A到W面的距离Aa//； 点A的Y坐标反映点A到V面的距离Aa/； 点A的Z坐标反映点A到H面的距离Aa；

也就是说，点的3个坐标xA，yA，zA，分别反映了该点到W，V，H 3个投影面的距离。 从图中还可看出：

点A的H面投影a，由xA和yA决定，或者说反映xA和yA； 点A的V面投影a/，由xA和zA决定，或者说反映xA和zA； 点A的W面投影a//，由yA和zA决定，或者说反映yA和zA；

也就是说，点的两个坐标决定该点的一面投影；反之，点的一面投影反映该点的两个坐标；点的任意两面投影便能反映该点的3个坐标。所以可以根据点的坐标作出点的三面投影图；反之，也可以根据点的任意两面投影来确定点的坐标。

坐标的长度单位规定取1mm，今后在本书中凡未指明单位的长度尺寸都视为以mm为单位。

5、 两点相对位置

①两点的相对位置

两点的相对位置是指空间两点上下、左右、前后的相对位置关系(坐标差值)。 这种相对位置关系可以直接从两点的同面投影来判断和描述。 正面投影或侧面投影在上的点在上，反之则在下； 正面投影或水平投影在左的点在左，反之则在右； 水平投影或侧面投影在前的点在前，反之则在后。

相应的投影在上下、左右、前后3个方向的距离，就是空间两点在这3个方向上的距离。 若从坐标上看，X坐标大的点在左，反之在右； Y坐标大的点在前，反之在后； Z坐标大的点在上，反之在下； 坐标差值表示距离。

由上可知，若已知两点的相对位置以及其中一点的投影，即能作出另一点的投影。 ②重影点及其投影的可见性

重影点是指处于同一投射线上的空间两点（即它们有两个相同的坐标），它们在该投影面上的投影重合为一点。

（点的一面投影能反映点的两个坐标）

重影点的可见性要根据不相同的那个坐标来判断，其中坐标值大者为可见，小者为不可见，并规定不可见点的投影加括弧表示。

六、直线

直线的投影实际上是直线上两点同面投影的连线。为了叙述简单起见，我们把直线段简称直线。如图所示，已知空间直线AB，在直线上取不同的两点A和B，分别作出两点的三面投影，将它们的同面投影连接起来，即得到直线AB的三面投影。 Vb 说明： Bbk 此图画至黑板，画时仅作 出直线AB上两个端点的三面kaKW 投影。 A0B0 讲课时再连接各面投影，A1aA k以得到直线的三面投影。 b a H图1 直线在三投影面体系中，分别对3个投影面形成一定的倾角，空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。

根据高中立体几何知识，要确定AB对H面的倾角，就是包含AB作一平面与H面垂直，图中平面AabB垂直于H面，两平面的交线就是直线ab，直线AB与交线ab的夹角就是直线AB对H面的倾角。此时，就把空间问题转化为了平面问题。根据初中平面几何的知识，直线与平行二直线的夹角定理：同内角相等。为此，过点A作ab的平行线AB0，直线AB与AB0的夹角即为直线与平面H的倾角，用α表示，三角形A B0B的实际形状如下： B说明：此图画至黑板 BB0=Bb－B0b= Bb－Aa =直线的两个端点到H面的距离差 =端点的V面投影到OX轴的距离差 AB0AB0=ab 图2 同理可求出直线AB与V面的倾角β，与W面的倾角γ。 根据直线对投影面的相对位置，把直线分为一般位置直线和特殊位置直线。 与各投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线；与任一投影面平行或垂直的直线，分别称为投影面平行线和投影面垂直线，总称特殊位置直线。 下面研究它们的投影特征。

1、特殊位置直线

1.投影面平行线（使用挂图，同时使用教具：三投影面体系、当作教具的直线） 平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线。它可分为3种： 正平线––––平行于V面，倾斜于H面和W面的直线； 水平线––––平行于H面，倾斜于V面和W面的直线； 侧平线––––平行于W面，倾斜于H面和V面的直线；

投影特性：1. 直线在其所平行的投影面上的投影反映实长和对其余两投影面的倾角； 2. 其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。 2.投影面垂直线

垂直于一个投影面而必与另外两个投影面平行的直线。它可分为3种： 正垂线––––垂直于V面，平行于H面和W面的直线； 铅垂线––––垂直于H面，平行于V面和W面的直线； 侧垂线––––垂直于W面，平行于H面和V面的直线；

投影特性：1. 在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；在另外两个投影面上的投影，反映了实长和