中考数学分类汇编 - 二次函数压轴题 - 图文

中考数学与二次函数有关的压轴题

纵观 全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等. 数学思想涉及：分类讨论；数形结合；转化，等.现选取部分省市的2016年中考题展示，以飨读者.

一、与特殊平行四边形性质的有关综合题

【题1】（2016?成都第28题）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标． ①当直线l边AD相交与点M1时，（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：根据S

=

×10=3，

求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方

程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）． ∴a﹣3=﹣，解得：a=， ∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，

1

∴x1=2，x2=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l边AD相交与点M1时，则S∴×3×（﹣y∴y

）=3

=

×10=3，

=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．

②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．

综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由

，

∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1， k2）． 假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3 由

，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

∵四边形DMPN是菱形， ∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（

）2+（

）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0， ∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4=0， 解得k=±

，

2

∵k＜0， ∴k=﹣

，

∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1） ∴PM=DN=2， ∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形， ∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2

﹣1，1）．

【题2】（2016?泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（2，9），与

y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．

2

（1）求二次函数y=ax+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

2

【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

3

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x+10x，根据二次函数求出极值；

（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．

22

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2

+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1， y=﹣（x﹣2）2

+9=﹣x2

+4x+5，

（2）当y=0时，﹣x2

+4x+5=0， ∴x1=﹣1，x2=5， ∴E（﹣1，0），B（5，0），

设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；

设P（x，﹣x2

+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2

+5x， ∵AC=4，

∴SAC×PD=2（﹣x2

+5x）=﹣2x2

四边形APCD=×+10x， ∴当x=﹣=时， ∴S四边形APCD最大=， （3）如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， 4