项城一高
例12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成60?的二面角，面积为Q，求直平行六面体的全面积．
分析：如图，由于DD?面AC．作出截面与底面所成的二面角的平面角?DHD后，因
''Rt?D'DH中?D'HD?60?，可分别求出D'D、DH和D'H的值．又上下底面的边长是相等
的，便可进一步求出全面积．
'''''解：设平行六面体为ABCD?ABCD，过D作DH?AB，H为垂足，连结DH．
∵DD?平面ABCD，
'∴DH?AB，?DHD?60?，
''∴DD?'13'DH，DH?D'H．
22又在菱形ABCD中，有AD?AB?BC?CD， ∴截面ABCD的面积为：S1?DH?AB?Q． 侧面DDCC的面积为：S2?DD?DC?DD?AB?底面ABCD的面积为：S3?DH?AB?所以S全?4S2?2S3?(23?1)Q．
'''''''3'3DH?AB?Q 221'1DH?AB?Q． 22典型例题十三
例13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平
行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；
乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面； 丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形． ∴应选B．
项城一高
项城一高
说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质．
典型例题十四
例14 如图，A1B1C1?ABC是直三棱柱，?BCA?90?，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点．若BC?CA?CC1，则BD． 1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A．
1303015 B． C． D．
2101510
解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC的中点E，并连结EF1、EA． ∵D1F11BC?BE， 2∴EF1//BD1，∴?EF1A是BD1与AF1所成角． 设BC?2a，则CC1?2a，CA?2a． ∴AB?22a，AF1?5a，AE?5a，
EF1?BD1?B1B2?B1D1?6a．
2AF(5a)2?(6a)2?(5a)2301?EF1?AE∴cos?EF A???12?AF102?5a?6a1?EF1222∴应选A．
说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求．
典型例题十五
例15 如图，已知A1B1C1?ABC是正三棱柱，D是AC的中点． (1)证明：AB1//平面DBC1；
(2)假设AB1?BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角?的度数．
项城一高
项城一高
(1)证明：∵A1B1C1?ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于E，则E是B1C的中点．连结DE．
∵D、E分别是AC、B1C的中点，
∴DE//AB1．又AB1?平面DBC． 1，DE?平面DBC1，∴AB1//平面DBC1．
(2)解：作DF?BC于F，则DF?平面BB1C1C，连结EF则EF是ED在平面BB1C1C上的射影．
∵AB1?BC1又AB1//ED． ∴ED?BC1．
根据三垂线定理的逆定理，得EF?BC1． 从而?DEF是二面角D?BC1?C的平面角， 即?DEF??， 设AC?1，则DC?1 213，CF?DCcos60??
44∵?ABC是正三角形，∴在Rt?DCF中，有
DF?DCsin60??取BC的中点G，
∵EB?EC，∴EG?BC． 在Rt?BEF中，EF?BF?FG 而BF?BC?FC?231，GF?， 44∴EF?2313?，∴EF?， 444项城一高
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3DF?4?1． ∴在Rt?DEF中，tan?DEF?EF34∴?DEF?45?，即??45?． 从而所求二面角的大小为45?．
说明：(1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻．今后要引以为戒．
(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查；在解答过程中，必须添加适当的辅助线，不仅考查了识图，而且考查了作图．本题是一道综合性试题，较深入和全面地考查了各种数学能力，正确解答本题，要求同学们有较高的数学素质．
项城一高
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