1
19．(15分)如图，四边形ABEF是正方形，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD.
2(1)若平面ABEF⊥平面ABCD，求证：DB⊥平面EBC； (2)若DF⊥BC，求直线BD与平面ADF所成角的正弦值．
(1)证明 ∵四边形ABEF是正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB， ∴EB⊥平面ABCD，可得EB⊥BD. 1
又∵AD＝AB＝BC＝CD，
2不妨设AB＝BC＝AD＝1，DC＝2， 可求BD＝3，可得BD⊥BC， ∵EB∩BC＝B，EB，BC?平面EBC， ∴DB⊥平面EBC.
(2)解 方法一 过点F作FH⊥平面ABCD，连接AH交CD于点G，过点H作HI⊥AD交AD于点I，连接FI，作HO⊥FI交FI于点O，
∵FH⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴FH⊥BC， 又∵DF⊥BC，且FH∩DF＝F，FH，DF?平面FDH， ∴BC⊥平面FDH，
又DH?平面FDH，∴BC⊥DH，即H在BD上，
又∵FH⊥AB，FA⊥AB，且FH∩FA＝F，FH，FA?平面FAH，∴AB⊥平面FAH， 又AH?平面FAH，∴AB⊥AH.
又∵AD⊥FH，AD⊥HI，FH∩HI＝H，FH，HI?平面FHI，∴AD⊥平面FHI，
又∵AD?平面FAD，∴平面FHI⊥平面FAD， ∴H到平面AFD的距离为HO，
136
由(1)知DG＝，HG＝HI＝，HO＝，
269又∵DB＝3DH，∴B到平面AFD的距离为6
， 3
2， 3
设直线BD与平面ADF所成角为θ，则sin θ＝方法二 设AD＝AB＝BC＝1，
以A为坐标原点，AB为y轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C?
33??3，－1，0?， ，，0，D
2??22??2
FA＝1，
??
设F(x，y，z)，由题意得?FB＝2，
→→?·BC＝0，?DF
x2＋y2＋z2＝1，
2
2
2
??x＋?y－1?＋z＝2，
即?
?x－3，y＋1，z?·?3，1，0?＝0，???22??22?
解得x＝
3636，y＝0，z＝，即F?，0，?. 333??3
设平面ADF的法向量为m＝(r，s，t)， 3136→→
又AD＝?，－，0?，AF＝?，0，?，
2?3??2?3→??2r－2s＝0，m＝0，?AD·
∴?即?→36?m＝0，?AF·r＋?33t＝0，
31
令r＝2，则s＝6，t＝－1，即m＝(2，6，－1)． 33→
设直线BD与平面ADF所成角为θ，且BD＝?，－，0?，
2??2
→|m·BD|2→
则sin θ＝|cos〈m，BD〉|＝＝，
3→
|m||BD|∴直线BD与平面ADF所成角的正弦值为
2. 3
11
20．(15分)已知数列{an}是等差数列，满足a2＝6，S4＝28，数列{bn}满足：b1＝1，＋＋…
b12b2＋
11＝－1(n∈N*)． nbnbn＋1
(1)求an和bn；
?bn?
(2)记数列?a?的前n项和为Sn，求Sn.
?n?
???a1＋d＝6，?a1＝4，
解 (1)设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，则?解得?∴an＝2n
?4a1＋6d＝28，???d＝2，
＋2，n∈N*.
1111
＋＋…＋＝－1，① b12b2nbnbn＋1
1111＋＋…＋＝－1(n≥2)，② b12b2?n－1?bn－1bn
111bn＋1n111①－②得＝－，＝(n≥2)，当n＝1时，＝－1，b2＝，当n≥2时，bn
nbnbn＋1bnbnn＋1b1b22＝
bnbn－1b211··…··b1＝.当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝，n∈N*.
b1nnbn－1bn－2
1n
bn111(2)＝＝＝· an2n＋2?2n＋2?n2?n＋1?n1?1－1?＝?n， 2?n＋1??b1b2bnSn＝＋＋…＋ a1a2an
1?1－1＋1－1＋…＋1－1?＝?223nn＋1? 2??1?1－1?n＝?＝. ?2?n＋1?2n＋2
21.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F(1,0)，直线l1：y＝k1x，l2：y＝k2x分别与抛
物线C相交于点A和点B，过A，B的直线与圆O：x2＋y2＝4相切．
(1)求直线AB的方程(含k1，k2)；
(2)若线段OA与圆O交于点M，线段OB与圆O交于点N，求S△MON的取值范围． p
解 (1)焦点是F(1,0)，可得＝1，即p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
?y2＝4x，?44??42，4?， 2，抛物线方程为y2＝4x，联立?可得A?，同理可得B?k1k1??k2k2??y＝k1x，?
若AB的斜率存在，可得kAB＝
y1－y2
k1k2＝， x1－x2k1＋k2
44k1k2?x－2?， AB的方程为y－＝k1k1＋k2?k1?化为k1k2x－(k1＋k2)y＋4＝0，
若AB的斜率不存在，也满足上面的方程，则直线AB的方程为k1k2x－(k1＋k2)y＋4＝0. (2)过A，B的直线与圆O：x2＋y2＝4相切，可得d＝
4
(k1k2)＋(k1＋k2)
2
2
＝r＝2，
化简为(k1k2)2＋(k1＋k2)2＝4，即有－2≤k1k2<0， →→OA·OB
cos∠AOB＝＝
→→|OA||OB|＝
1＋k1k2
2
x1x2＋y1y2
2
x21＋y1·2
x22＋y2
2
?k1k2?＋k21＋k2＋1
，
2
－?kk?－4k1k2＋412
，sin2∠MON＝，
5－2k1k25－2k1k2
由(k1k2)2＋(k1＋k2)2＝4，可得cos∠AOB＝
1＋k1k2
设t＝5－2k1k2∈(5,9]，则
S
2
△MON
＝4sin2∠MON＝4·
－?k1k2?2－4k1k2＋4
5－2k1k2
＝
?5－t?2
－－2?5－t?＋4－t2＋18t－49
449
t＋?≤18－249＝4， 4·＝＝18－??t?tt
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