(Ⅱ)证明:在直三棱柱所以又
根据已知条件可得
,,
所以设平面
,
的法向量为
,
,
,
中,平面ABC,
,所以,如图建立空间直角坐标系,
,,,
, ,
由即
令,则,,于是,
平面设则
的法向量为
,
,
,
若直线DP与平面成角为,则
,
计算得出
故不存在这样的点.
,
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点睛：方法总结：由面面垂直n线面垂直n线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求解 19．已知函数f(x)?xsinx?acosx?x，a?R.
（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）当a=2时，求f(x)在区间[0,?2]上的最大值和最小值；
（3）当a?2时，若方程f(x)?3?0在区间[0,?2]上有唯一解，求a的取值范围.
【答案】（1）y?x?1；（2）最大值为f()??，最小值为f(0)?2；（3）2?a?3 【解析】【详解】试题分析：（1）由f??0??1可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程； （2）由f'?x???sinx?xcosx?1，可得f'?x??0，所以f?x?在区间?0,递增，从而可得最值；
（3）当a?2时，f'?x???1?a?sinx?xcosx?1.设h?x???1?a?sinx?xcosx?1，
?2???
上单调?2??
???
h'?x???2?a?cosx?xsinx，分析可知h?x?在区间?0,?上单调递减，且
?2?
h?0??1?0，h????????1?a?1?2?a?0x?0,?，使，所以存在唯一的0???2??2?h?x0??0，即f'?x0??0，结合函数单调性可得解.
试题解析：
（1）当a??1时，f?x??xsinx?cosx?x， 所以f'?x??2sinx?xcosx?1，f'?0??1. 又因为f?0???1，
所以曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程为y?x?1. （2）当a?2时，f?x??xsinx?2cosx?x， 所以f'?x???sinx?xcosx?1． 当x??0,???????时，1?sinx?0，xcosx?0， 2?第 14 页 共 18 页
所以f'?x??0. 所以f?x?在区间?0,
???
上单调递增． ?2??
??????f上的最大值为????，最小值为f?0??2. ??2??2?因此f?x?在区间?0,（3）当a?2时，f'?x???1?a?sinx?xcosx?1.
设h?x???1?a?sinx?xcosx?1，h'?x???2?a?cosx?xsinx， 因为a?2，x??0,???,所以h'?x??0.
?2?????
上单调递减． ?2??
?????1?a?1?2?a?0， ?2?所以h?x?在区间?0,
因为h?0??1?0，h?所以存在唯一的x0??0,???，使h?x0??0，即f'?x0??0. ?2????所以f?x?在区间?0,x0?上单调递增，在区间?x0，?上单调递减．
2?????????f??f0=afx?3?0因为??，??，又因为方程??在区间?0,?上有唯一解，
?2??2?所以2?a?3.
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
3x2y220．已知点P(1,)在椭圆C：2?2?1(a?b?0)上，F(1,0)是椭圆的一个焦点．
2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线y?3截得的弦长是定值． 2x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析． ??1．
43第 15 页 共 18 页
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到c?1，利用定义得到a?2，即可求解椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设D(m,n)，E(?m,?n)，根据直线方程，求解M,N的坐标，可得GM?GN，利用 GM?GN?0，求得t的值，即可得到弦长为定值． 试题解析：
（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为F???1,0?，且c?1．
uuuuvuuuv?3??3?因为2a?2????02????4，
?2??2?222所以a?2，b?a2?c2?3，
x2y2所以椭圆C的方程为??1．
43（Ⅱ）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合． 因为D，E两点关于原点对称，
所以设D?m,n?，E??m,?n?，?m??1?． 设以MN为直径的圆与直线y?
3?3??3?交于G?t,?,H??t,?(t?0)两点， 2?2??2?所以GM?GN．
33直线PD：2?x?1?． y??2m?1n?3??n?3?3?n?2??． 当x?0时，2?3，所以M?0,?y??m?12??m?12??3n?3直线PE：2?x?1?． y??2m?13??n?3?3?n?2??． 当x?0时，2?3，所以N?0,?y??m?12??m?12??3?3???n?n?uuuuv?v??uuu?22所以GM???t,??，GN???t,??， m?1m?1????????uuuuvuuuv因为GM?GN，所以GM?GN?0，
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