正定二次矩阵（论文）

正定（半正定）二次型的判定及其应用

摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定。重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。 关键字： 二次型 正定二次型 半正定二次型 相关应用

目录

引言 ............................................................................................................................................................................................................................................ 1 一、正定二次型 ......................................................................................................................................................................................................................... 1

1．1 定义 ...................................................................................................................................................................................................................... 1 1.2.常见正定二次型 ....................................................................................................................................................................................................... 1

二、正定二次型的判定 ............................................................................................................................................................................................................. 2 三、正定二次型的应用 ............................................................................................................................................................................................................. 4

3.1 在函数极值问题中的应用 ...................................................................................................................................................................................... 4 3.2 正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用 ............................................................................................................................................... 6 3.3 利用半正定二次型的性质证明不等式 ................................................................................................................................................................... 6

参考文献： ........................................................................................................................................................................................................ 8

引言：设P是一个数域,

aij?P, n个文字x1,x2,,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)?a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3?

?2a1nx1xn

2?a22x2?2a23x2x3?

?2a2nx2xn

?

2 ?annxn

???aijxixj (aij?aji,i,j?1,2,i?1j?1为实二次型. 当

nn,n)

称为数域

P上的一个n元二次型, 简称二次型. 当aij为实数时, 称faij为复数时, 称f为复二次型. 如果二次型中只

含有文字的平方项, 即

f(x1,x2,称

2,xn)?d1x12??d2x2?2 ?dnxnf为标准型.

一、正定二次型

1．1 定义：实二次型

f(x1,x2,,xn)称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn，都有

f(c1,c2,?,cn)?0

1.2.常见正定二次型

1.2.1 二次型

222222是正定的，因为只有在c1?c2???cn=0时，c1?c2???cn才为f(x1,x2,?,xn)?x1?x2???xn- 1 -

零。 1.2.2实二次型

222是正定的，当且仅当di?0,i?1,2,?,n f(x1,x2,?,xn)?d1x1?d2x2???dnxn1.2.3 设实二次型

f(x1,x2,?,xn)???aijxixj,aij?aji (1)

i?1j?1是正定的，经过非退化实线性替换

nn

变成二次型 X=CY (2)

g(y1,y2,?,yn)???bijyiyj,bij?bji． (3)

i?1j?1我们指出，关于都有

nny1,y2,?,yn的二次型g(y1,y2,?,yn)也是正定的，?，kn，或者说，对于任意一组不全为零的实数k1，k2，g(k1, k2,?,kn)?0．

证明：事实上，令则

y1?k1,y2?k2,?,yn?kn，代入(2)的右端，就得到x1,x2,?,xn对应的一组值，设其为c1,c2,?,cn，

?c1??k1?????c2???C?k2?． ???????c??k??n??n?因为C可逆，就有

?k1??c1??????k2??C?1?c2?． ???????k??c??n??n?所以当k1,k2,?,kn是一组不全为零的实数时，则c1,c2,?,cn也是一组不全为零的实数．显然

g(k1,k2,?,kn)?f(c1,c2,?,cn)?0．

二、正定二次型的判定

定理6： n元实二次型证 设二次型

上面的讨论表明，指数为n．

f(x1,x2,?,xn)是正定的充分且必要条件是它的正惯性指数等于n．

f(x1,x2,?,xn)经过非退化实线性替换变成标准形

222． (4) d1y1?d2y2???dnynf(x1,x2,?,xn)正定，当且仅当(4)是正定的，而二次型(4)是正定的，当且仅当di?0,i?1,2,?,n，即正惯性

222f(x1,x2,?,xn)的规范形为y1． ?y2???yn定理5.4.1说明，正定二次型

定义 实对称矩阵A称为正定的，若二次型因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵引入：子式

X?AX正定．

In，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同

a11a21

a12a22a32ak2a13a23a33ak3a1ka2ka3k（i?1,2,3,4……，n）, akk- 2 -

Pi?a31ak1称为

A??aij?n?n的顺序主子式.

定理7 实二次型

f(x1,x2,?,xn)???aijxixj?X?AXi?1j?1是正定的充分且必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零．

证 必要性 设二次型

nn

f(x1,x2,?,xn)???aijxixji?1j?1是正定的．对于每个k，1?k?n，令

nn

fk(x1,x2,?,xk)???aijxixji?1j?1则对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,ck，有

kk，

fk(c1,c2,?,ck)???aijcicj?f(c1,?,ck,0,?,0)?0．

i?1j?1因此

kkfk(x1,x2,?,xk)是正定的．由推论5.4.1，fk的矩阵的行列式

?12?k?A??12?k???0,k?1,?,n． ??故矩阵A的顺序主子式全大于零．

充分性 对n作数学归纳法．当n=1时，

2，由条件a11?0，显然有f(x1)是正定的． f(x1)?a11x1假设充分性的论断对于n?1元二次型已经成立，那么对n元情形，令

?a11?a1,n?1??a1n?????A1??,?????，

????a??a??n?1,1?an?1,n?1??n?1,n?则矩阵A分块为

?A??A??1?．

???ann?由A的顺序主子式全大于零知道

A1的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，A1是正定矩阵，即有n?1阶可逆矩阵G,使

G?AG?En?1． 1取

?G0?C1???01??，

??则

?G?0??A1???G0??En?1G???C1?AC1??????a???????Ga?．

0101?????nn??nn?再取

?G????EC2??n?1?，

1??0

- 3 -

则

0??En?1G????En?1?E?C1?AC1C2??n?1C2????????G1????Gann??0?G???? 1?

0?E? ??n?1??0ann???GG???令C=C1C2，a=ann? ??GG??．

则有

?1?1C?AC????????.??a?

两边取行列式，得

|C|2|A|?a．由于|A|>0，因此a>0．显然

??1????1????a?????1??1??????1????? ???a???1??1?????1??1???????a???这就是说，矩阵A与单位矩阵合同．所以A是正定矩阵，故二次型

f(x1,x2,?,xn)正定．

例1 判别二次型解

2?x2?5x2?4xx?8xx?4xx 是否正定． f(x1,x2,x3)?5x123121323f(x1,x2,x3)的矩阵为

2?4??5??1?2?， ?2??4?25???它的顺序主子式

52?4525?0，?0，21?2?0，

21?4?25所以，

f(x1,x2,x3)正定．

三、正定二次型的应用

3.1 在函数极值问题中的应用

定理 设n元实函数

f(x1,x2,且有足够高阶的连续偏导数，则函数f(x1,x2,,xn)在点P的一个邻域中连续，

0,xn)在点P0近旁有性质：1）若

X?AX正定，则P0为极小点；2）若

X?AX- 4 -

负定，则P0为极大点；3）若

X?AX不定，则P0非极大点或极小