-- 复 数
1.复数的概念： (1)虚数单位i;
（2)复数的代数形式z=ａ+ｂｉ，(a, b∈R); （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集
???整 数??有 理 数?实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环? 虚 数(a?0)?虚 数(b?0)?纯?? 虚 数(a?0)?非 纯?
3．复数ａ+bｉ(a, b∈Ｒ）由两部分组成，实数ａ与b分别称为复数ａ+ｂi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,ａ+bi就是实数，当b≠0时,a+ｂｉ是虚数，其中ａ=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=０仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=ｂ=0，则a+bｉ=0是实数。
４.复数的四则运算
若两个复数z1=ａ1＋ｂ1ｉ，z2＝a2+b２i， (1）加法:ｚ1+z２=(ａ1+ａ2)+（ｂ1+b2)ｉ; (2)减法：z1-z2＝（a1－a2)+(b1－b2)i；
(3）乘法:ｚ１·z2=(ａ1a2－b１b２)＋(a１b２＋a2ｂ1)i;
z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222（4）除法：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（６)特殊复数的运算：
n① i（n为整数)的周期性运算; ②(１±ｉ)2 ＝±2i;
31③ 若ω=-2＋2i,则ω3=1,1+ω+ω2＝0．
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=ａ+bi,则z?a?bi,z?z为实数，z?z为纯虚数(b≠0).
222z?z?|z|a?b(２）复数z=a＋bi的模|Z|=, 且＝a２＋b2.
6.根据两个复数相等的定义,设ａ, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+ｂ
?a?0?a?c???b?d?b?0. ??i=c+di． 由这个定义得到a+ｂi=0
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两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
4．复数ａ+ｂｉ的共轭复数是a－ｂｉ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b＝0,则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
５.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i２＝－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bｉ)（a－bｉ)= a2+b2
６.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足（c+dｉ）(x＋yi)=a＋bi （c＋bｉ≠0)的复数x＋yi叫做复数a+bi除以复数ｃ＋dｉ的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i??c?di(c?di)(c?di)c2?d2. 7.复数a＋bｉ的模的几何意义是指表示复数a＋ｂi的点到原点的距离。 （二)典型例题讲解 1．复数的概念
例1.实数ｍ取什么数值时,复数z=ｍ+1+（ｍ－1）ｉ是（1）实数?（2)虚数？（3)纯虚数?（4）对应的点Ｚ在第三象限？
解:复数ｚ=m+1+(m-1)i中,因为m∈Ｒ,所以m+1，m－１都是实数，它们分别是z的实部和虚部,
∴ (1)ｍ＝1时，z是实数； (2)ｍ≠１时,z是虚数;
?m?1?0?(3)当?m?1?0时，即m=－1时,z是纯虚数；
?m?1?0?(4)当?m?1?0时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。 例２.已知(2ｘ－1)+ｉ＝y－(3－ｙ）i，其中x, ｙ∈R，求x, y.
?2x?1?y5?解：根据复数相等的意义,得方程组?1??(3?y)，得x=2, y=4.
2m2?3m?22例4.当m为何实数时，复数z=m?25+（m２+3m-１0)i；(１）是实数;（2)是虚数;（3)是纯虚数．
解:此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法.
?m2?3m?10?0?2m?25?0 （1）z为实数，则虚部m2＋3m－10=0，即?， 解得m＝2,∴ m=2时,z为实数。
?m2?3m?10?0?m2?25?0?(２)z为虚数,则虚部m2＋3m－1０≠0，即,
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?2m2?3m?2?0?2?m?3m?10?0?2m?25?0， ?解得m≠2且m≠±５. 当ｍ≠2且m≠±5时，z为虚数．
11解得ｍ＝－2, ∴当ｍ=-2时，z为纯虚数．
诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求．
例5.计算：i＋i2＋i３+……＋i2005. 解：此题主要考查in的周期性．
i＋i2＋i３＋……+ｉ2005＝(i+i2+ｉ３+ｉ4)+……+(ｉ20０1＋i200２＋ i2003＋i2004)＋i2005
=（i-1-i+1）+ (ｉ-１－i＋１)+……＋(i－1-ｉ+1)+i ＝0＋0+……＋0＋i=i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住iｎ的周期及合理分组.
例８．使不等式ｍ２-(m2-3m)ｉ<(ｍ2－4ｍ+3)ｉ+10成立的实数ｍ＝ . 解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2-(m2-3m)i<(m2－4m＋3)i＋10， 且虚数不能比较大小，
?m2?10?|m|?10?2??m?3m?0?m?0或m?3?2?m?3或m?1m?4m?3?0?∴,解得?，∴ m＝3.
当ｍ=3时，原不等式成立.
诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i例9.已知ｚ＝x＋yｉ(x，y∈Ｒ),且 ,求z. 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法．
?2x?y?8?0?x?y?3??2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)ilogx?1?logy2∵ ,∴?2，∴?xy?2， ?x?2?x?1??y?1解得?或?y?2, ∴ ｚ＝2+i或ｚ=1＋2i．
诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程（指数,对数方程)
例10．已知ｘ为纯虚数，y是实数，且2x－1+i＝y-（3-y)i,求x、y的值.
解：本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件，方程组的解法. 设x＝ti (ｔ∈R，且ｔ≠0），则2ｘ－1+i=y－（３－y）i可化为 ２ti-1+ｉ＝y-(3-y)i,即(2t+1)i-1＝ｙ-(3－y)ｉ，
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