3.4 基本不等式： ab≤
a＋b2
预习课本P97～100，思考并完成以下问题 (1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？ (2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？ (3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？ [新知初探]
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤
2
2
a＋b2
叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做
a＋b2
，当且仅当a＝b时，等号成立．
2
2
?a＋b?2≤a＋b，a＋b≥2ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号
(3)变形：ab≤??2?2?
成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则ab≠
a＋b2
，即只能有ab＜
a＋b2
.
1
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a＋b≥2ab，a＋b≥2ab均成立( ) 4
(2)若a≠0，则a＋≥22
2
aa·＝4( ) a4
(3)若a>0，b>0，则ab≤?
?a＋b?2( )
??2?
2
2
解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a＋b≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．
4
(2)错误．只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2aa·＝4成立． a4
(3)正确．因为ab≤
a＋b2
，所以ab≤?
?a＋b?2.
??2?
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( ) A．a＞b＞B．a＞C．a＞
a＋b2
＞ab
a＋b22
＞ab＞b ＞b＞ab
a＋bD．a＞ab＞
a＋b2
＞b ＞
＞ab＞b·b＝b，因此B项正确．
解析：选B a＝
a＋aa＋b2
2
9
3．若x>0，则x＋＋2有( )
xA．最小值6 C．最大值8
9
解析：选B 由x＋＋2≥29
B．最小值8 D．最大值3
xx·＋2＝8(当且仅当x＝，即x＝3时，取等号)，故xx9
选B.
4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( ) 42
A．y＝|x|＋≥2|x|
42
|x|·＝4|x|≥0
|x|
4
sin x·＝4(x为锐角)
sin x2
4
B．y＝sin x＋≥2sin x
C．已知ab≠0，＋≥24xD．y＝3＋x≥2
3
abbaab·＝2 ba4x3·x＝4
3
4
解析：选D 在A中，4|x|不是常数，故A选项错误；在B中，sin x＝时无解，
sin xab4
y取不到最小值4，故B选项错误；在C中，，未必为正，故C选项错误；在D中，3x，xba3
4x均为正，且3＝x时，y取最小值4，故D选项正确．
3
利用基本不等式比较大小 [典例] (1)已知m＝a＋A．m>n C．m＝n
1(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( ) a－2
B．m 1a＋b(2)若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小 22关系是________． [解析] (1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋ 11 ＝(a－2)＋＋2，所以a－2a－2 m≥2 知m>n. 222 a－2·＋2＝4，由b≠0，得b≠0，所以2－b<2，n＝22－b<4，综上可 a－2 1 (2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0， 1 所以Q＝(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P； 2 1a＋bQ＝(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab 2 所以P [答案] (1)A (2)P 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 3 [活学活用] 已知a，b，c都是非负实数，试比较a＋b＋b＋c＋c＋a与2(a＋b＋c)的大小． 解：因为a＋b≥2ab，所以2(a＋b)≥(a＋b)， 所以 a＋b≥同理 b＋c≥ 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a＋b)， 2 2222 (b＋c), c＋a≥(c＋a)， 22 2 2 2 2 所以 a＋b＋b＋c＋c＋a≥ 2 2 2 2 2 2 2 [(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]， 2 即a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 利用基本不等式证明不等式 2b＋3c－aa＋3c－2ba＋2b－3c[典例] 已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3. a2b3c[证明] ∵a，b，c均为正实数， 2ba∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)， a2b3c＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)， a3ca3c2b＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 2b3c?2ba??3ca??3c2b?将上述三式相加得?＋?＋?＋?＋?＋?≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成?a2b??a3c??2b3c? 立)， ∴?即 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； 4 ?2b＋a－1?＋?3c＋a－1?＋?3c＋2b－1?≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， ????? ?a2b??a3c??2b3c? 2b＋3c－aa＋3c－2ba＋2b－3c＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)． a2b3c
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