②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [活学活用] ?1??1??1? 已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：?－1??－1??－1?≥8.
?a??b??c?
证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 11－ab＋c2bc所以－1＝＝≥.
aaaa12ac12ab同理，－1≥，－1≥.
bbcc上述三个不等式两边均为正，
?1??1??1?2bc·2ac·2ab＝8，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等相乘得?－1??－1??－1?≥
abc3?a??b??c?
号.
利用基本不等式求最值
[典例] (1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值． (2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值． 19
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
xy[解] (1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2， 即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100 ＝20， 当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20. (2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6， 11?2x＋3y?2
∴xy＝(2x·3y)≤·??
66?2?1?6?23＝·??＝， 6?2?2当且仅当2x＝3y，
33即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 2219
(3)∵＋＝1，
xy?19?∴x＋y＝(x＋y)·?＋?
?xy?
5
9xyy9x＝1＋＋＋9＝＋＋10，
yxxy又∵x＞0，y＞0，
y9x∴＋＋10≥2xy当且仅当＝
y9x·＋10＝16， xyy9x，即y＝3x时，等号成立． xyy＝3x，??由?19
＋＝1，??xy
??x＝4，
得?
?y＝12，?
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. (1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式． (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用． [活学活用] 211
1．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
ab6A．8 C．6
B．7 D．5
?21??21??2a2b?解析：选C 由已知，可得6?＋?＝1，∴2a＋b＝6?＋?·(2a＋b)＝6?5＋＋?ba??ab??ab??
≥6×(5＋4)＝54，当且仅当
2a2b＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.
ba12
2．设a>b>0，则a＋＋
ab1
的最小值是( )
aa－b A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选D 因为a>b>0，所以a－b>0，
6
12
所以a＋＋＝a(a－b)＋≥2
abaa1
a－b11
＋ab＋ a－babaa－b·
aa1
＋2a－bab·＝4，
ab1
当且仅当a(a－b)＝即a＝2，b＝
11
且ab＝， a－bab2
时等号成立. 2
利用基本不等式解应用题 [典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥240x×90y＋20xy ＝120xy＋20xy， ＝120S＋20S.
所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0， 故S≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100， 求得x＝15，即铁栅的长是15米．
求实际问题中最值的解题4步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性． 7
(4)正确写出答案． [活学活用] 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润
y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台
机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．
yy?25?解：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－?x＋?，而x>0，故≤18－225＝8，
x?x?
x当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
层级一 学业水平达标
1．下列结论正确的是( ) 1
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
lg xB．当x>0时，x＋1
x≥2
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0 x1 解析：选B A中，当0 lg x151 正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋的最小值为；D中，由函数f(x)＝x－在区间 x2x13 (0,2]上单调递增，知x－的最大值为，故选B. x2 2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( ) A．lg(x＋1)≥lg(2x) C. 1 ≤1 x＋1 2 2 B．x＋1>2x 1 D．x＋≥2 2 x解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x＋1≥1，∴选C. 3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( ) 8 2 2 1 ≤1成立．故x＋1 2
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