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11，0） 2（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、3）由∠OPA+∠FPE＝90°，
AOOP1b得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE。由得?? 解得b1?3，b2?1
PFEF4?b3（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）
111，0）或（1，0）或（3，0）或（，0） 2233（3）抛物线的对称轴为x?…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB
22综上所述，满足条件的点P的坐标为（
要使|AM?MC|最大，即是使|AM?MB|最大。由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM?MB|的值最大．
3?x??y??x?1?31??2易知直线AB的解折式为y??x?1∴由? 得 ∴M（，－） 3?x?22??y??1?2??2苏州中考题：解：⑴∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.∴中，由勾股定理得：
.∵PC=，AB=4，∴.
.∴在Rt△APB
⑵过O作OE⊥PD，垂足为E. ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD. 在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2. ∴∴
有最大值，最大值是2.
例7．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）AO=AC﹣OC=m﹣3，用线段的长度表示点A的坐标；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；（3）设Q（x，x2﹣2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可． 【解答】（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）． 又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2， 得：
解得
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；
.∵
.
，∴当
时，
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
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设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x． ∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，∴
，
∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴
，
又∵AC=4，∴FC（AC+EC）=
[4+2（x﹣1）]=
（2x+2）=
×2×（x+1）=8
即
，得
即
，得EC=2（x﹣1）
即FC（AC+EC）为定值8．
【点评】本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长． 变式练习：解：⑴∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x.∴的函数关系式为⑵∵∴
即为常数. . 当y =3时，
，
，解得:x=2.5.
.
，即
.∴
. . ∴y关于x
⑶延长PD交AC于点Q.∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°.
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°.∴∠GDP=∠ADQ=45°. ∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP. ∴
，化简得：
，解得：
.
.∵
，∴
.
在Rt△DGP中，
苏州中考题：（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）， 则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得 a=
．
（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得 x1=﹣m，x2=3m，则 A（﹣m，0），B（3m，0）． ∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN， ∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴设E坐标为（x，
），∴
=
=
．
=
，
∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
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∴
=
=，即为定值．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G． ∵tan∠CGO=∵GF=∴
=．∵
，tan∠FGH==
，∴=4
=
，∴OG=3m． ， AD=
=
=3
，
=，∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m． 本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．
例8．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；平行线分线段成比例．【专题】压轴题． 【分析】（1）点Q运动的时间比点P多秒，则运动的路程也多出了．（2）利用翻折得到的线段长，再利用勾股定理可求得点D的横坐标，纵坐标和点C的纵坐标相等．（3）当平行的时候，所截得的线段对应成比例，即可求得时间值．当垂直的时候也要找到一组平行线，得到对应线段成比例看是否在相应的范围内．
【解答】解：（1）OP=6﹣t，OQ=t+．（2）当t=1时，过D点作DD1⊥OA，交OA于D1，如图1，则DQ=QO=，QC=，∴CD=1，∴D（1，3）．（3）①PQ能与AC平行．若PQ∥AC，如图2，则
，即
，∴
，而
，∴
．②PE不能与AC垂直．
若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图3，则∴EF=QF﹣QE=QF﹣OQ=（
﹣1）（t+），又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，∴
==
，=，∴
=
．
，∴，
∴t≈3.45，而，∴t不存在．
【点评】注意使用翻折得到的对应线段相等；当两条直线平行的时候，所截得的对应线段是成比例的． 变式练习：【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（1，0），B（﹣3，0）两点，代入求出a和b的值，二次函数解析式即可求出；（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；（3）首先
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求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点， ∴
，解得：
，∴y=﹣x2﹣2x+3，
（2）∵点A（1，0），点C（0，3），∴OA=1，OC=3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA=90°， ∵OC⊥x轴，∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，∴∠DCO=∠OAC， ∴△QOC∽△COA，∴
，即
，∴OQ=9，又∵点Q在x轴的负半轴上，
∴Q（﹣9，0），设直线QC的解析式为：y=mx+n，则，解之得：，
∴直线QC的解析式为：y=x+3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，，
解之得：或（不合题意，应舍去），∴点D（﹣，）；
（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA， 设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E，∴E（﹣1，0）， ∵A（1，0），∴AE=2，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1， ∴P（﹣1，4），∴PE=4，则PM=|4﹣y|， ∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，=×1×（3+4）+×1×3，=×10，=5， 又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，S△AEP=AP?PE=×2×4，∴S△ACP=5﹣4=1， ∵S△MAP=2S△ACP，∴×2×|y﹣4|=2×1，∴|4﹣y|=2，∴y1=2，y2=6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，点M（﹣1，2）或（﹣1，6）． 【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握． 苏州中考题：解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m）， 令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m， ∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；故答案为：45°； （2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E， 由题意得，抛物线的对称轴为：x=
，设点P坐标为：（
，n），
∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，
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+1）2+n2=（n+m）2+(∴（
∴P点的坐标为：（
1?m21?m， )，解得：n=
221?m，）；
2（3）存在点Q满足题意， ∵P点的坐标为：（=（
1?m），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2， 21?m21?m1?m2
+1）2+（）+（+m）2+（）=1+m2，
222，
∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形， ∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形， ∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m）， ① 如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（=m2﹣2m+=（m﹣）2+最小值
，∵
=﹣m，
+m）2 ，PQ取得
1?m2
）+（2∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值
＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，
1?m=m，解得：m=，21?m21?m2
PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）+（m﹣）=m2﹣2m+
22②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=（m﹣）2+∵
，∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值
，PQ取得最小值
，
＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，
综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
点评：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键． 模拟试题：
【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意得出△AOB≌△CDA，从而求得OA=CD=1，
AD=OB=2，即可求得C的坐标，然后把C的坐标代入抛物线的解析式即可求得b； （2）将抛物线平移，当顶点至原点时，解析式为y=﹣x2，设EF的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．由△PEF的内心在y轴上，得出∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，那么△GEP∽△HFP，根据相似三角形对应边成比例以及根与系数的关系即可求解；
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