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期望． 【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩??N60,13，
所以P(47???86)?P(47???60)?P(60???86)
?2?11P(60?13???60?13)?P(60?2?13???60?2?13) 220.6820.954 ??22??0.818．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000?0.818?1636（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，且X?B?3,2． 52??， 5???27?3? ， 所以P?X?0??????5?1255412?3?， P?X?1??C3?????5?5?125?2?336，
P?X?2??C??????5?5125232238?2? P?X?3?????．
5125??所以X的分布列为
3X P
0 1 2 3 27 12554 12536 1258 125所以数学期望E?X??3?【点睛】
26?． 55（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊
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区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布． 19．（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）由题意知，?PCD?60?，取BD的中点O，连接OM,OC，易知OM,OC,BD两两垂直，以O为原点建立如图所示的坐标系O?xyz，设OB?1，平面MCD的一个法向
3 4uuurrrr量为n?(x,y,z)，求出向量n，则向量PC,n所成角的余弦值的绝对值即为所求.
【详解】
（1）证明：因为BC?CD,BC?PC,PC∩CD?C， 所以BC⊥平面PCD，
又因为PD?平面PCD，所以BC⊥PD. 又因为PD?BD,BD∩BC?B， 所以PD?平面BCD.
（2）因为PC?BC,CD?BC，
所以?PCD是二面角P?BC?D的平面角，即?PCD?60?， 在RtVPCD中，PD?CDtan60??3CD，
取BD的中点O，连接OM,OC，因为BC?CD,BC?CD,
所以OC?BD,由（1）知，PD?平面BCD，OM为△PBD的中位线， 所以OM?BD,OM?OC，即OM,OC,BD两两垂直， 以O为原点建立如图所示的坐标系O?xyz，设OB?1，则
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ruuur?6?uuuP(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M??0,0,2??,CP?(?1,1,6),CD?(?1,1,0)，
??uuuur?r6?CM????1,0,2??，设平面MCD的一个法向量为n?(x,y,z)，
??uuuv??x?y?0,vr?n?CD?0,?v则由?vuuuu得?令，得n?(3,3,2)， z?26z?0,?n?CM?0,??x?2?uuurrruuurCP?n3rr?所以cos?n,CP??uuu，
4|CP||n|所以直线PC与平面MCD所成角的正弦值为【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
20．（1）当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,??)；当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,?)，单调递减区间为(?【解析】 【分析】
（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a的取值，得到函数的单调区间； （2）依题意可得F?x??lnx?x?ax?x?e2x3. 41a1,??) ；（2）a?e?1. a?x?0?，F?x?存在两个不动点，所以方程
ex?lnx?x2ex?x2?lnxF?x??0有两个实数根，即a?有两个解， 令h?x???x?0?，利
xx用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；
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【详解】
解：（1）f?x?的定义域为?0,???，f??x??对于函数y?ax?1，
①当a?0时，y?ax?1?0在x?0恒成立.
1ax?1?a??x?0?， xx?f??x??0在?0,???恒成立.
?f?x?在?0,???为增函数；
② 当a?0时，由f??x??0，得0?x??由f??x??0，得x??1； a1； a11?f?x?在(0,?)为增函数，在(?,??)减函数.
aa综上，当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,??)
当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,?)，单调递减区间为(?（2）F?x??f?x??g?x??lnx?x?ax?x?e2x1a1,??) a?x?0?，
ex?lnx?x2QF?x?存在两个不动点，?方程F?x??0有两个实数根，即a?有两个解，
xex?x?1?x?1??lnxex?x2?lnxex?x?1??lnx??x?1??x?1?令h?x??， ?x?0?，h??x???xx2x2??令h??x??0，得x?1，
当x??0,1?时，h?x??0，h?x?单调递减；
?当x??1,???时，h?x??0，h?x?单调递增；
??h?x??h?1??e?1， 设I(x)?lnx?x,则I(x)?'1?1,Imax(x)?I(1)??1?0,即x?0时,lnx?x x将lnx?x两边取指数,则x?ex
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ex?x2?x1?x2?x1当x?0时,h(x)????x?1???
xxx?x?x2?x当x???时 , h(x)??x???
x当a?e?1时，F?x?有两个不同的不动点 【点睛】
本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题．
27x221．. （1）（2）?y2?1；
89【解析】 【分析】
（1）设动点P和点A，B的坐标，利用向量数乘关系结合|AB|?4容易求得方程；
218k181?k（2）联立直线与曲线方程， 利用弦长公式可得|DM|?1?k，|DN|?
21?9k2k?92则S?DMN1162(k?)11k?|DM||DN|?，设k??t，则t?2，再利用基本不等式计算
12k82?9(k2?2)k可得； 【详解】
（1）解：设Px,y,Am,0,B0,n.
()()()uuuvuuuvQBP=3PA，
?x?3m?3x\\(x,y-n)=(m-x,-y)=(3m-3x,-3y)，即?.
y?n??3y?4??m?x??3. 又|AB|?4，?m2?n2?16. ??n?4y16x2从而+16y2=16.
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