数学高考《空间向量与立体几何》复习资料
一、选择题
1．已知VABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA?22，BC?1，3AC?3，三棱锥O?ABC的体积为
A．36? 【答案】B 【解析】 【分析】
B．16?
14，则球O的表面积为( ) 6C．12?
D．
16? 3根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积． 【详解】
AB2?AC2?BC2AB2?9?122由余弦定理得cosA?，解得AB?22， ??2ABgAC6AB3?AB2?BC2?AC2，即AB?BC．
?AC为平面ABC所在球截面的直径．
作OD?平面ABC，则D为AC的中点， 11114， QVO?ABC?S?ABCgOD???22?1?OD?3326?OD?7． 2?OA?OD2?AD2?2． ?S球O?4??OA2?16?．
故选：B．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断?ABC的形状是关键．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E?平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若
D1E?CF，则当VEBC的面积取得最小值时，
A．25 5S△EBC?（ ） SABCD5 5B．
1 2C．D．5 10【答案】D 【解析】 【分析】
根据D1E?CF分析出点E在直线B1G上，当VEBC的面积取得最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，即可求得面积关系． 【详解】
先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，
即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB. 证明：直线l在平面内的射影为直线OA，
不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线， 所以OB⊥平面PAO，PO?平面PAO， 所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理. 如图所示，取AB的中点G，
正方体中：A1C1?D1B1，CF在平面A1B1C1D1内的射影为A1C1， 由三垂线定理可得：CF?D1B1，
CF在平面A1B1BA内的射影为FB，FB?B1G
由三垂线定理可得：CF?B1G，B1G与D1B1是平面B1D1G内两条相交直线， 所以CF?平面B1D1G，
∴当点E在直线B1G上时，D1E?CF，
11?EB?BC??EB?a， 22当VEBC的面积取最小值时，
设BC?a，则S△EBC?线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，
a∴线段EB长度的最小值为，
5?S△EBCSABCD1a??a5. 25??a210故选：D. 【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
3．在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，且?ABC为等边三角形，AP?AB?2，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ） A．
27? 2B．
28? 3C．
26? 3D．
25? 2【答案】B 【解析】 【分析】
?PA?可得出外接球的半径，进而可
计算出?ABC的外接圆半径r，利用公式R?r2????2?得出三棱锥P?ABC的外接球的表面积. 【详解】
2?ABC的外接圆半径为
r?AB2sin?3?233，
QPA?底面ABC，所以，三棱锥P?ABC的外接球半径为
?23?21?PA?22， R?r????1??????3?2??3??21?28?2. ?因此，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为4?R?4?????3?3??故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
222
4．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
166416??64 D．16??64 ? B． C．
333【答案】C
A．
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， V?12116??64， 故选C. ?4?4????42?4?333
AB5．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
6．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．
34 17B．
234 17C．517 17D．
317 17【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在?PCD中利用余弦定理求出cos?DPC进而求出CE，再在?GFH中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则EF//CH，EF?CH，从而四边形EFHC是平行四边形，则EC//FH， 且EC?FH.
因为F是PA的中点，G是AB的中点，
所以FG为?ABP的中位线，所以FG//PB，则?GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得FG?3，HG?1AC?22. 2PD2?PC2?CD236?36?167在?PCD中，由余弦定理可得cos?DPC???，
2PD?PC2?6?69则CE2?PC2?PE2?2PC?PEcos?DPC?17，即CE?17.
FG2?FH2?GH29?17?8317. 在?GFH中，由余弦定理可得cos?GFH???2FG?FH172?3?17故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A．
2 3B．
1 3C．
1 2D．
3 4【答案】B 【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于
11?1?12=， 33选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
8．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A．3 【答案】B 【解析】 【分析】
B．5 C．6 D．12
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积?1?3?1?1， 中间棱柱的体积V?131?3?1?2?3 , 2所以该刍甍的体积是1?2?3?5. 故选：B 【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?4，AC?BC，CC1?5，D、E分别是AB、B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（ ）
A．
3 3B．
1 3C．
58 29D．
387 29【答案】C 【解析】 【分析】
取A1C1的中点F，连接DF、EF、CF，推导出四边形BDFE为平行四边形，可得出
BE//DF，可得出异面直线BE与CD所成的角为?CDF，通过解VCDF，利用余弦定理可求得异面直线BE与CD所成的角的余弦值. 【详解】
取A1C1的中点F，连接DF、EF、CF.
易知EF是△A1B1C1的中位线，所以EF//A1B1且EF?1A1B1. 21A1B1，所以2又AB//A1B1且AB?A1B1，D为AB的中点，所以BD//A1B1且BD?EF//BD且EF?BD.
所以四边形BDFE是平行四边形，所以DF//BE，所以?CDF就是异面直线BE与CD所成的角.
因为AC?BC?4，AC?BC，CC1?5，D、E、F分别是AB、B1C1、A1C1的中点， 所以C1F?11AC?2BE?B1C1?2且CD?AB. ，111224?4?42，所以CD?22由勾股定理得AB?AC?BC4?4??22. AB42由勾股定理得CF?CC12?C1F2?52?22?29，DF?BE?BB12?B1E2?52?22?29.
在VCDF中，由余弦定理得cos?CDF?故选：C. 【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
?29???22???2229?22?29?22?58.
29
rra???I??l10．已知平面??平面?，，，b??，则“a?l”是“a?b”的
（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面??平面?，????l,a??,b??， 当a?l时，利用面面垂直的性质定理，可得a?b成立， 反之当a?b时，此时a与l不一定是垂直的，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
rrrrrr所以a?l是a?b的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
11．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1 中，E,F 分别为B1C,C1D1 的中点，点P 是底面
A1B1C1D1内一点，且AP// 平面EFDB ，则tan?APA1 的最大值是( )
A．2 【答案】C 【解析】
B．2
C．22 D．32 PM，从而分析：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AOP?A1P=C1M，由此能求出tan∠APA1的最大值．
详解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，
设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点， 点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB， PM，∴A1P=C1M=∴AOP?AC2， ?44AA1tanAPA==∴∠1
A1P12=22． 4∴tan∠APA1的最大值是22． 故选D．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
12．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1（不包括端点）上的动点,且线段PP1ADD1,则四面体PP12AB1的体积的最大值是 12平行于平面AA．
1 24B．
1 12C．
1 6D．
1 2【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1,P2分别是线段AB,BD1上的动点，
且线段PP1ADD1,?PP12B??AD1B， 12平行于平面A?x,x?(0,1)，即PPAA1B1B的距离为x， 设PB112?2x,P2到平面
所以四棱锥PP12AB1的体积为V? 当x?111??(1?x)?1?x?(x?x2)， 32611时，体积取得最大值，故选A． 224
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
13．已知正方体A1B1C1D1?ABCD的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面?过点E且与直线OC1垂直，若AB?1，则平面?截该正方体所得截面图形的面积为( ) A．
6 4B．
6 2C．3 2D．3 4【答案】A 【解析】 【分析】
根据正方体的垂直关系可得BD?平面ACC1A1，进而BD?OC1，可考虑平面BDE是否为所求的平面，只需证明OE?OC1即可确定平面?. 【详解】
如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，
222AB?1，则OC1?1??，OE???，EC1?2??，
12321412341494?OC12?OE2?EC12，?OE?OC1；又BD?平面ACC1A1，
?BD?OC1，且OEIBD?O，?OC1?平面BDE，
且S?BDE?1136， BDgOE??2??2224即?截该正方体所得截面图形的面积为故选:A.
6. 4
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.
14．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2,AA，D，F分别是棱AB，1?23AA1的中点，E为棱AC上的动点，则?DEF的周长的最小值为()
A．22?2 C．6?2 【答案】D 【解析】 【分析】
B．23?2 D．7?2
根据正三棱柱的特征可知?ABC为等边三角形且AA1?平面ABC，根据AA1?AD可利用勾股定理求得DF?2；把底面ABC与侧面ACC1A1在同一平面展开，可知当D,E,F三点共线时，DE?EF取得最小值；在?ADF中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果. 【详解】
Q三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱 ∴?ABC为等边三角形且AA1?平面ABC
QAD?平面ABC ?AA1?AD ?DF?1?3?2
把底面ABC与侧面ACC1A1在同一平面展开，如下图所示：
当D,E,F三点共线时，DE?EF取得最小值 又?FAD?150o，AF?3，AD?1
2??DE?EF?min?3??AF?AD?2AF?ADcos?FAD?4?23????2???7 ??2??DEF周长的最小值为：7?2
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.
15．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A．130 【答案】D 【解析】
B．140
C．150
D．160
?9,BD1?15， 设直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，对角线AC1 因为A1A?平面ABCD,ACì,平面ABCD，所以A1A?AC， 在Rt?A1AC中，A1A?5，可得AC? 同理可得BD?2AC?A1A2?56, 1D1B2?D1D2?200?102，
因为四边形ABCD为菱形，可得AC,BD互相垂直平分， 所以AB?11(AC)2?(BD)2?14?50?8，即菱形ABCD的边长为8， 22 因此，这个棱柱的侧面积为S?(AB?BC?CD?DA)?AA1?4?8?5?160， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，
求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
16．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．64 【答案】D 【解析】
B．
64 3C．16 D．
16 3
根据三视图知几何体是：三棱锥D?ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD?平面ABC,?ABC的面积
1116S??2?4?4，所以该多面体的体积V??4?4?，故选D.
233
17．三棱锥D?ABC中，CD?底面ABC,?ABC为正三角形，若
AE//CD,AB?CD?AE?2，则三棱锥D?ABC与三棱锥E?ABC的公共部分构成的
几何体的体积为（ ） A．3 9B．3 3C．
1 3D．3 【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D?ABC与三棱锥E?ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F?ABC ∵ABC为正三角形，AB?2 ∴S?ABC?13?2?2??3 22∵CD?底面ABC，AE//CD，CD?AE?2 ∴四边形AEDC为矩形，则F为EC与AD的中点 ∴三棱锥F?ABC的高为
1CD?1 213 ?3?1?33∴三棱锥F?ABC的体积为V?故选B.
18．如图，直三棱柱ABC?A?B?C?的侧棱长为3，AB?BC，AB?BC?3，点E，
F分别是棱AB，BC上的动点，且AE?BF，当三棱锥B??EBF的体积取得最大值
时，则异面直线A?F与AC所成的角为（ ）
A．
? 2B．
? 3C．
? 4D．
? 6【答案】C 【解析】 【分析】
设AE?BF?a，VB??EBF?1?SVEBF?B?B，利用基本不等式，确定点 3E，F的位置，然后根据EF//AC，得到?A?FE即为异面直线A?F与AC所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE?BF?a，则VB??EBF?a?3?a??9，当且仅当1?1?????a??3?a???3?3?288?2a?3?a，即a?3时等号成立， 23395，AF?5，A?F?AA?2?AF2?，222即当三棱锥B??EBF的体积取得最大值时，点E，F分别是棱AB，BC的中点， 方法一：连接A?E，AF，则A?E?EF?132， AC?22因为EF//AC，所以?A?FE即为异面直线A?F与AC所成的角，
81945??A?F?EF?A?E424?2， ?由余弦定理得cos?A?FE?932?A?F?EF22??222?∴?A?FE?．
4方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB?分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
222标系，
则A?0,3,0?，C?3,0,0?，A??0,3,3?，F??3?,0,0?， ?2?uuuur?3uuur?∴A?F??,?3,?3?，AC??3,?3,0?，
?2?9uuuuruuur?9uuuuruuurA?F?AC2?uruuur?2所以cosA?F,AC?uuu，
92A?F?AC?322所以异面直线A?F与AC所成的角为故选：C
?． 4【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．122π 【答案】B 【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为22的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22， 所以其表面积为S?2?(2)2?2??2?22?12?，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
B．12π
C．82π
D．10π
20．在空间中，下列命题正确的是
A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等 B．两条异面直线所成的有的范围是?0,
???
?2??
C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】
根据两个角可能互补判断A；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D. 【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C. 【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，
本题是一个概念辨析问题.
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