高考极坐标与参数方程大题题型汇总
1．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程?非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是?(sin??3cos?)?33，射线OM:???x?1?cos?．以O为极点，x轴的(?为参数）
?y?sin??3与圆C的交点为
O、P,与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解:(1)圆C的普通方程是(x?1)2?y2?1，又x??cos?,y??sin?; 所以圆C的极坐标方程是??2cos?. ---5分
??1?1??1?2cos?1??(2)设(?1,?1)为点P的极坐标，则有? 解得??. ??1??1???3?3???2(sin?2?3cos?2)?33??2?3??设(?2,?2)为点Q的极坐标，则有? 解得? ????2???2?3?3?由于?1??2，所以PQ?
2．已知直线l的参数方程为?点，
?1??2?2，所以线段PQ的长为2.
?x??4t?a（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极
y?3t?1?x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为
?2?6?sin???8．
（1）求圆M的直角坐标方程；
（2）若直线l截圆M所得弦长为3，求实数a的值．
解：（1）∵??6?sin???8?x?y?6y??8?x?(y?3)?1， ∴圆M的直角坐标方程为x?(y?3)?1；(5分）
2222222（2）把直线l的参数方程??x??4t?a（t为参数）化为普通方程得：3x?4y?3a?4?0，
?y?3t?13，且圆M的圆心M(0,3)到直线l的距离
∵直线l截圆M所得弦长为
d?37379|16?3a|319，∴a?或a?．(10分） ?12?()2??a?或a?6625222??x?2?5cos???y?1?5sin?3．已知曲线C的参数方程为? (?为参数)，以直角坐标系原点为极点，
Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程
（2）若直线l的极坐标方程为?(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。
??x?2?5cos???y?1?5sin?解：(1)∵曲线c的参数方程为? (α为参数)
∴曲线c的普通方程为(x-2)+(y-1)=5
2
2
?x??cos??y??sin? 代入并化简得：?=4cosθ+2sinθ 将?即曲线c的极坐标方程为?=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0
2∴圆心c到直线l的距离为d=
2=2∴弦长为25?2=23
x2?y2?14．已知曲线C：9，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直
线l的极坐标方程为
??sin(??)?24. （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
?x?3cos??y?sin?（?为参数）C解：（1）曲线的参数方程为?，
直线l的直角坐标方程为x?y?2?0 （2）设P(3cos?,sin?)，
d?3cos??sin??22?10cos(???)?22P到直线l的距离
（其中?为锐角，且
tan??13）
当cos(???)?1时，P到直线l的距离的最大值
dmax?5?2 ??x?2cos???y?3sin?(?为参数)于A、B两点．
5．设经过点P(?1,0)的直线l交曲线C：?（1）写出曲线C的普通方程；
（2）当直线l的倾斜角??60时，求|PA|?|PB|与|PA|?|PB|的值．
o
x2y2??13解：（1）C：4．
1?x??1?t?2???y?3t?2（2）设l：?（t为参数）
25t?4t?12?0 联立得：
|PA|?|PB|?|t1?t2|?
?t1?t2??4t1t2?21216|PA|?|PB|?|t1t2|?5 5，
6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐?(3,)(1,2)，点M的极坐标为2，若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，标为
?3为半径．
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C相交于A,B两点，求
PA?PB．
?x?1?????y?2??解：（1）直线l的参数方程为?3t,21t,(t为参数）2，（答案不唯一，可酌情给分）
圆的极坐标方程为??6sin?. ?x?1?????y?2??（2）把?3t,21222t,tx?(y?3)?92代入，得
?(3?1)t?7?0，
?t1t2??7，设点A,B对应的参数分别为t1,t2， 则PA?t1,PB?t2,
?PA?PB?7.
?2t?x?2??2??y?2t?27．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?（t为参数），以原点O
为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为
??42cos(??).
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
?4（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为(2,0)，试求
11?PAPB的值.
解：（1）由
??42cos(??)?4，展开化为
?2?42?2(?cos???sin?)?4(?cos???sin?)2，
?x??cos??22y??sin?x?y?4x?4y?0， ?将代入,得
22x?y?4x?4y?0. 所以，圆C的直角坐标方程是
?2t?x?2??2??y?2t?2（2）把直线l的参数方程?（t为参数）代入圆的方程并整理，
可得：t?22t?4?0. 设A，B两点对应的参数分别为则
2t1,t2，
t1?t2??22,t1?t2??4?0， t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?26. 所以
∴
t?t1111266????12??PAPBt1t2t1?t242.
?x?3cos?C1:?2?sin???cos??10?y?2sin?（?为参数）8．已知曲线C的极坐标方程为，曲线．
（1）求曲线
C1的标准方程；
（2）若点M在曲线
C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
x2y2??1C941解：（1）曲线的标准方程是：
（2）曲线C的标准方程是：x?2y?10?0 设点M(3cos?,2sin?)，由点到直线的距离公式得：
d?3cos??4sin??1051cos??5cos(???)?105其中
34?,sin??55
?????0时，dmin
98M(?5，此时5,5)
1?x??2?t?2???y?2?3t?29．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），直
22(y?2)?x?1交于A，B两点. Cl线与曲线：
（1）求
AB的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为
3???22,??4?，求点P到线段AB中点M的距离. ?
1?x??2?t，?2???y?2?3t，?2解：（1）直线l的参数方程为?（t为参数），
2代入曲线C的方程得t?4t?10?0．
t2，则t1?t2??4，t1t2??10， 设点A，B对应的参数分别为t1，所以|AB|?|t1?t2|?214．
2)， （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(?2，t1?t2??22所以点P在直线l上，中点M对应参数为，
由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|?2．
10．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角??（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆x?y?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。
22?6，
?3??x?1?tcosx?1?t????6，即2
解：（1）直线的参数方程为???y?1?1t?y?1?tsin???6??2?3x?1?t??2代入x2?y2?4得 （2）把直线??y?1?1t??2(1?321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0 22t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
11．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
解：(1)设动点P的坐标为(ρ，θ)，
M的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．
33
(2)由(1)知P的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆，易得|RP|的最小值为1.
22
π2
12．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－)＝.
42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．
解： (1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x＋y＝x＋y，即x＋y－x－y＝0.
π2
直线l：ρsin(θ－)＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为
42
2
2
2
2
2
y－x＝1，即x－y＋1＝0.
?x＋y－x－y＝0，?
(2)由?
??x－y＋1＝0，
2
2
得?
?x＝0，???y＝1.
π故直线l与圆O公共点的极坐标为(1，)．
2
相关推荐：
loading