A卷
2015—2016学年第一学期 《线性代数》期末试卷答案
（32学时必修）
专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 2016年1月15日
题 号 本题满分 本题得分 阅卷人 注意事项：
一 15 二 15 三 21 四 16 五 12 六 14 七 总分 7 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E表示单位矩阵；A*表示矩阵A的伴随矩阵；
R(A)表示矩阵A的秩；A?1表示可逆矩阵A的逆矩阵.
一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6
个题目都做，按照前面5个题目给分）
1．5阶行列式中，项a24a31a52a13a45前面的符号为【 负 】.
1?1303121012135本题满分15分 本 题得分 2.设D??14，A4i(i?1,2,3,4)是D的第4行元素的代数余子式，则
A41?2A42?A43?2A44 等于【 0 】.
?102???3．设B??020?，A为4?3矩阵，且R(A)?2，则R(AB)?【 2 】.
??103???
4．若向量组?1?(1,1,0),?2?(1,3,?1),?3?(5,3,t)线性相关，则t?【 1 】.
?m??m????? 5．设A是3阶实的对称矩阵，????m?是线性方程组Ax?0的解，???1?是线
?1??1?m?????性方程组(A?E)x?0的解，则常数m?【 1 】.
6．设A和B是3阶方阵，A的3个特征值分别为?3,3,0，若E?B?AB，则行列式
|B?1?2E|?【 -8 】.
二、选择题（共5个小题，每小题3分）
11. 设A为3阶矩阵，且|A|?，则行列式|?2A?|等于【 A 】.
2(A) ?2； (B) ?
本题满分15分 本 题得分 1； (C) ?1； (D) 2. 2?110???
2. 矩阵?120?的逆矩阵为【 A 】．
?001????2?10???(A) ??110?； (B)
?001???
3．设A是n阶非零矩阵，满足A?A2，若A?E，则【 A 】．
(A) |A|?0； (B) |A|?1； (C) A可逆； (D) A满秩.
?300??300?????1?14. 设A??，则的第3行第1列的元素为C?ABC026,B?1?10,?????00?1???342??????210???110??； (C) ?001????1?10??110??????120110； (D) ????. ?001??001?????【 D 】．
(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) ?1.
22?2x3?2ax1x2?2ax1x3?2ax2x3，a是使二次型f(x1,x2,x3)5．设f(x1,x2,x3)?2x12?2x2正定的正整数，则必有【 B 】．
(A) a=2； (B) a=1； (C) a=3； (D) 以上选项都不对.
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
本题满分21分 1. 若?,?,?线性无关，??2?,2??k?，??3?线性相关，求k. 本 题解：因为??2?,2??k?与??3?线性相关，所以必定存在不全为 得分 零的数?1，?2，?3，使得
（+?（+?（=0 ?1?+2?）22?+k?）3?+3?） ----------2分 （2?1+2?2+?3）?+（k?2+3?3）?=0 整理得：?1?+由于?,?,?线性无关，因此可得
?1=02?1+2?2+?3=0 k?2+3?3=0由于?1，?2，?3不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此
100221=0，由此得k = 6. ----------7分 0k3?1??1?12?????2. 设A??0??1?10?，B??2a1?，若R(AB?B)?2，求a.
?2???130?????解：由R(AB?B)?2可知AB+B=0，
由此可得 A+EB=0
2-10又 A+E=010=2≠02-21因此 B=0
----------2分
因此可得 a=-5. ----------7分
?200???100?????3. 设矩阵A??0a2?,B???4t0?，且A,B相似，求a与t的值．
?021??603?????解：由A,B相似可知A,B的特征值相同，
而易知B的特征值为 -1,t,3，因此A的特征值也为 -1,t,3 利用特征值的性质可得
?2?a?1??1?t?3----------5分 ? ?2(a?4)??3t 解得a?1,t?2. ----------7分
四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组
?1??0??3??1??????????130?1?????????1?,?2?,?3?,?4? ?2??1??7??2?????????4214???????0?本题满分16分 本 题得分 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.
?1??1解：令A???1,?2,?3,?4????2??41??30?1?, 把A进行行变换，化为行最简形， ?172?2140?03?1?0?A~?0??0030??110??C???1001??000??2?3?4? ----------6分
则?1，?2，?4是C的列向量组的一个最大无关组，且?3?3?1??2?0?4， 故?1，?2，?4是A的列向量组的一个最大无关组，且?3?3?1??2?0?4.
----------8分
?214???2. 问a满足什么条件，才能使得A??03a?共有两个线性无关的特征向量？
?003???2-?14解：由A-?E=003-?a=0，得A的特征值：?1=2，?2=?3=3 03-?要使A有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即(A-3E)x=0的解空间的维数为1，则R(A-3E)=2， ----------6分
??114???而A?3E??00a?，因此可知a≠0. ----------8分
?000????x3??,?x1?五、问?为何值时，线性方程组?4x1?x2?2x3???2无解，有无穷多解，
?6x?x?4x?2??33?12并在有无穷多解时求出其通解．
本题满分12分 本 题 得分 ???101??解：记方程组的增广矩阵为，则B??412??2?，
?6142??3??????101??对其进行行变换，化为行阶梯形：B??01?2?3??2?，
?000???1???易知，当?≠1时，R(A)?2?R(B)?3，方程组无解；
当?=1时，R(A)?R(B)?2，方程组有无穷多解； ----------6分
?1011??x1??x3?1??当?=1时，B??01?2?1?，与原方程组同解的方程组为?，
x?2x?13?2?0000????x1???1??1???????由此可得原方程组的通解为?x2??k?2????1??x??1??0??3??????k?R?. ----------12分
22?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的六、求实二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x2本题满分14分 秩，并求正交变换x=Py，化二次型为标准形．
?1?22??1?22???? 解：记二次型的矩阵为A???24?4?,A~?000??,?2?44??000?????本 题 得分 故二次型f的秩为1. ----------4分
1??由A??E??22?24???42?44???0，可得：?1?9，?2??3?0，
?1??1??????3??2?2?当?1?9，求解(A?9E)x?0的一个基础解系：单位化：p1??,?1??-1?，-?3??1??2???????3?????2??-2?????当?2??3?0，求解Ax?0的一个基础解系：?2??1?，?3??0?，
?0??1??????2??-??2??5??????3????4?，
正交化：?2??2??1?，?3??3-2??2?2?2?5??0??1??????????25??2??-??-??15??2??5??45?1??5?4?单位化：p2????， ----------12分 ?1?，p3???355???15???01???5???????3????
令P??p1p2p3?，则可得正交变换x?Py，
2?0y32. ----------14分 二次型的标准形为：f(y1,y2,y3)?9y12?0y2
七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）
1. “设A是n阶实的反对称矩阵，则对于任何n维实的列向量?，?和A?正交，且A-E可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
本题满分7分 本 题 得分 由于A为反对称阵，则AT=-A，对于任意n维实的列向量?，有：
??A????TA??-?TAT???(A?)T????A???????A??
所以??A???0，即?和A?正交； ----------3分
考虑（A-E)x=0，即Ax=x，等式两边同时左乘xT，得
xTAx=xTx=0，由此得：x=0，即（A-E)x=0只有零解，
所以A-E≠0，A-E可逆. ----------7分
??0?12. 设矩阵A满足2A?1B?2B?E，B???2???0?121?2?0?0??试求出A?E的第2行的元素. 0?，??3???2?解：等式2A?1B?2B?E两边同时左乘A得：2B=2AB+A，
整理得：2B=A（2B+E)，
??1?1?B已知，由此可求出A??10??00??0??0?, ----------5分 3??2?从而可求出A?E的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分
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