??′ ?? =? 1+??2+2?? 1+??2,令??′ ?? =0，得驻点??=, 2
1
1
当??<2时，??′ ?? <0, ?? ?? 单调减少； 当??>时，??′ ?? >0, ?? ?? 单调增加；
2
1
1
因为?? 1 =0，所以?? ?? 在(2,+∞)上存在唯一零点。
又??
22 综上可知，?? ?? 有且仅有两个零点。
【考点】高等数学—一元函数微分学—方程的根（零点问题）
(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？ 【解析】
设该物体在t时刻的温度为?? ?? ℃，由题意得
????
=???(???20) ???? 其中k为比例系数，k>0.解得
??=?????????+20
将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100 将??=30,??=30代入得??=
????1030
1
1
,所以
????10
??30??=100???
+20
令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高等数学—常微分方程—一阶常微分方程，微分方程应用 (21)已知函数?? ?? 在区间 ??,+∞ 上具有2阶导数，?? ?? =0,??′ ?? > 0,??′′ ?? >0.设??>??,曲线??=?? ?? 在点(??,??(??))处的切线与??轴 的交点是(??0,0),证明??
曲线??=?? ?? 在点(??,??(??))处的切线方程是
????? ?? =??′ ?? (?????) , 解得切线与??轴交点的横坐标为 ??0=???
??(??)
??′(??)由于??′ ?? >0，故?? ?? 单调增加。由??>??可知?? ?? >?? ?? =0. 又??′ ?? >0,故
??(??)
??′(??)
>0,即有??0
????? ??′ ?? ???(??)??(??)
??0?a=b?′???= ??(??)??′(??)由拉格朗日中值定理得
?? ?? =?? ?? ??? ?? =??′ ?? ????? ,??
因为??′′ ?? >0，所以??′ ?? 单调增加，从而??′ ??
?? ??
由此可知??0???>0,即??0>?? 综上所述，??
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理 ??
(22)设矩阵??= 1
0 (1)求??的值；
(2)若矩阵??满足??????????????+????????=??,其中??为三阶单位矩阵，求?? 【解析】
(1) 由于??3=0，所以 ?? ?? = 1
0
1??1
0
?1 =??3=0 ??1??1
0
?1 ,且??3=0 ??
于是??=0
(2) 由于??????????????+????????=?? 所以 ????? ?? ??????? =?? 由(1)知
1?10001
??
?????= ?111 ,?????= 010
0?11?102
因为?????,???????均可逆，所以
??= ????? ?1 ??????? ?1
21?120?131?2
= 11?1 010 = 11?1 11010021?1
【考点】线性代数—矩阵—矩阵方程
02?31?20
(23)设矩阵??= ?13?3 相似与矩阵??= 0??0
1?2??031 (1)求??,??的值；
(2)求可逆矩阵??,使?????????为对角矩阵。 【解析】
(1) 由于矩阵??与矩阵??相似，所以
tr ??=???? ??, ?? = ??
于是3+??=2+??,2???3=??, 解得 ??=4,??=5
02?31?20
(2) 由(1)知矩阵??= ?13?3 ,??= 050
1?24031由于矩阵??与矩阵??相似,所以
λ????? = λ????? = λ?1 2(λ?5)
故??的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5.
当λ1=λ2=1,解方程组 ????? ??=0,得线性无关的特征向量
2?3
ξ1= 1 ，ξ2= 0
01
当λ3=5，解方程组5 ????? ??=0,得特征向量
?1ξ3= ?1
1
100
令??= ??1,??2,??3 = 10?1 ,则
011
100= 010 ， 005
??????
???
故??为所求可逆矩阵。
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的相似对角化
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