?b2?4ac???b2?4akc??4ac?k?1?.
由证法一知k?1?0， ∴b2?4ac?b2?4akc≥0.
∴??b2?4ac?0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
x2?kx?3训练2. 在正实数范围内，只有一个数是关于x的方程求实?3x?k的解，
x?1数k的取值范围．
【解析】 原方程可化为2x2?3x??k?3??0，①
333，x1?x2?满足条件； 84⑵ 若x?1是方程①的根，得2?12?3?1??k?3??0，解得k??4．此时方
⑴ 当??0时，k??11，故原方程也只有一根x?； 22??k?3?⑶ 当方程①有异号实根时，x1?x2??0，得k??3，此时原方程也
2程①的另一个根为
只有一个正实数根；
⑷ 当方程①有一个根为0时，k??3，另一根为x?一个正实根。
综上所述，满足条件的k的取值范围是k??33或k??4或k≥?3． 83，此时原方程也只有2
2训练3. 对于任意实数k，方程k2?1x2?2?a?k?x?k2?4k?b?0恒有一个实根
??1．
⑴求a、b的值．
⑵求另一根的最大值与最小值．
【解析】 ⑴ 由于1恒为方程的根，所以对任意实数k有
?k2?1??2?a?k??k2?4k?b?0
2即4?1?a?k?b?2a2?1?0
????a?1?4?1?a??0即?解得 ?2b?1???b?2a?1?0k2?4k?bk2?4k?1⑵ 方程的另一根为x2? ?k2?1k2?1去分母，整理得?x2?1?k2?4k?x2?1?0
由于k是任意实数，故必有??16?4?x2?1?≥0，即?x2?1?≤4
2221
即?2≤x2?1≤2，即?1≤x2≤3 当x2??1时，k?44??1；当x2?3时，k??1．
2??1?1?2?3?1?所以，当k??1时，x2取到最小值?1；当k?1时，x2取到最大值3．
训练4. 已知：关于x的一元二次方程?x2?(m?4)x?4m?0，其中0?m?4．
⑴求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）； ⑵设抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴交于A、（A在B的左侧），B两点
若点D的坐标为?0，?2?，且AD?BD?10，求抛物线的解析式； ⑶已知点E?a，y1?、F?2a，y2?、G?3a，y3?都在⑵中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
【解析】 ⑴ 将原方程整理，得x2?(m?4)x?4m?0，
??b2?4ac?[?(m?4)]2?4(4m)?m2?8m?16?(m?4)2?0
(m?4)?(m?4)∴x?．
2∴x?m或x?4．
0?、⑵ 由⑴知，抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴的交点分别为?m，?4，0?，
∵A在B的左侧，0?m?4．
0?，B?4，0?． ∴A?m，则AD2?OA2?OD2?m2?22?m2?4， BD2?OB2?OD2?42?22?20．∵AD?BD?10，∴AD2?BD2?100． ∴20(m2?4)?100． 解得m??1． ∵0?m?4，∴m?1． ∴m?4?5，?4m??4．
∴抛物线的解析式为y??x2?5x?4.
⑶ 答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式， 如：y3??3(y1?y2)?4（答案不唯一）．
证明：由题意可得y1??a2?5a?4，y2??4a2?10a?4，
y3??9a2?15a?4． ∵左边=y3??9a2?15a?4． 右边=－3(y1?y2)?4
??3[(?a2?5a?4)?(?4a2?10a?4)]?4
=?9a2?15a?4． ∴左边=右边．
∴y3??3(y1?y2)?4成立．
整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握0k?0方法，等量关系表示主要掌握线性表示．
23
实战演练
【演练1】 已知关于x的方程m2?mx2?2mx?1?0①有两个不相等的实数根． ⑴求m的取值范围；
⑵若m为整数，且m?3，a是方程①的一个根，求代数式
2a2?122a?3a??3的值．
4【解析】 ⑴ ∵方程有两个不相等的实数根
∴方程为一元二次方程
∴m≠0且m≠1 ∴m2?m≠0，??由?2m??4?m2?m??0得m?0
2∴m的取值范围为m?0且m≠1 ⑵ 由⑴m?0且m?1
又∵m?3，m为整数
∴m?2
∴原方程为2x2?4x?1?0 ∵a是该方程的一个根 ∴2a2?4a?1?0
∴2a2?3a?a?1，2a2?1?4a
4a原式?a?1??3?24
【演练2】 已知：关于x的一元二次方程mx2?3(m?1)x?2m?3?0 (m为实数)
⑴若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； ⑵求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
⑶若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. 【解析】 ⑴ ??b2?4ac???3(m?1)??4m(2m?3)?(m?3)2
2∵方程有两个不相等的实数根， ∴(m?3)?0 且 m?0 ∴ m?3且 m?0
∴m的取值范围是m?3且 m?0 ⑵ 证明：由求根公式
2?b?b2?4ac3(m?1)?(m?3)x??
2a2m3m?3?m?32m?33∴ x1???2?
2mmm3m?3?m?3x2??1
2m∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. ⑶ ∵m为整数，且方程的两个根均为正整数
相关推荐：
loading