＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° 6＋2＝4.
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角
变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
[教师备选例题] (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知πbsin A＝acos(B－6)． (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． ab[解] (1)在△ABC中，由正弦定理sin A＝sin B， 可得bsin A＝asin B， π又由bsin A＝acos(B－6)， π得asin B＝acos(B－6)， π即sin B＝cos(B－6)， 可得tan B＝3. π又因为B∈(0，π)，可得B＝3. π(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝3，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7. π3由bsin A＝acos(B－6)，可得sin A＝. 75
因为a＜c，故cos A＝2. 743因此sin 2A＝2sin Acos A＝7， 1cos 2A＝2cos2A－1＝7， 4311333所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝7×2－7×2＝14. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已
知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．
3πab [∵bsin A＋acos B＝0，∴＝4sin A－cos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B，3π∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝4.] 7
2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝2，则BC＝________． 9 [设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α， 77
在△ADC中，72＝x2＋(2)2－2x×2cos α，① 77
在△ABD中，42＝x2＋(2)2－2x×2cos(π－α)，② 9
①＋②得x＝2， ∴BC＝9.]
3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
[解] (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
a2＋b2－c2a2＋（a＋2）2－（a＋4）2由余弦定理cos C＝2ab得cos 120°＝，即
2a（a＋2）
6
a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面积公式得 11absin∠ACB＝22c×CD，
3
3×5×absin∠ACB2153
所以CD＝＝＝14，
c7即AB边上的高CD＝
153
. 14
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 3
由正弦定理得sin A＝33
即sin A＝14，
33153
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×14＝14， 153
即AB边上的高CD＝14. 考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原则
111
(1)对于面积公式S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A
＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
7sin∠ACB
＝
7sin 120°
，
7
[解] (1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π
中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos 3，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
π
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝2， π
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6，
1πAB·AD·sin 26
故△ABD面积与△ACD面积的比值为1＝1，
2AC·AD1
又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC＝23， 所以△ABD的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C＝
2， 7
2π
，在△ABC3
AC
在Rt△ACD中，cos C＝CD，
所以CD＝7，所以AD＝3，DB＝CD＝7， 13
所以S△ABD＝S△ACD＝2×2×7×sin C＝7×＝3.
7π2
法三：∠BAD＝6，由余弦定理得cos C＝，
7所以CD＝7，所以AD＝3， 1
所以S△ABD＝2×4×3×sin∠DAB＝3.
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意
求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表
8
相关推荐：
loading