最全总结之圆锥曲线定值问题

?8k2m2?km?x1?x2??m?0,??m2?0, 21?4k21Qm?0,?k2?,

4

则S1?S2

??2?x12x22x?1??x?1????24?44?21

3?2?3???22x1?x2??x1?x2??2x1x2??= ??216216????8m2?13??64k2m2?22?161?4k1?4k2?????????? 3??4m??216?5?． 42?5 ?4m2?1???2?4???故S1?S2为定值，该定值为

类型四 线段为定值

x2y2?2?1例1． 已知直线l：y?x?2与圆x?y?5相交的弦长等于椭圆C：

9b22（0?b?3）的焦距长． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知O为原点，椭圆C与抛物线y?2px（p?0）交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证： OG?OH为定值．

解析：（1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到2c?4,c?2．利用

2x2y2?1． a?b?c求得b?5，得到椭圆方程?952222(2)证明：有条件知，M,N关于X轴对称，设M(x1,y1),P(x0,y0)则N(x1,?y1)

22x0y0x12y129922??1,??1?x12?(5?y12),x0?(5?y0) 959555 21

又直线PM的方程为

y?y0?y1?y0xy?x0y1(x?x0),令y?0得点G的横坐标xG?10

x1?x0y0?y1x1y0?x0y1

y0?y1同理得点H的横坐标xH?222x1y0?x0y1x1y0?x0y1x12y0?x0y1所以|OG||OH|=||?||?|| 22y0?y1y0?y1y0?y1 ?|12y0?y129?92222?(5?y)y?(5?y)y1??9 100?55??即OG?OH为定值．

跟踪训练五

x2y221）1．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，离心率e?，点G（2，在椭圆上．

2ab

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证： AM?BM为定值．

解析：（1）依题意得，设，则，

由点在椭圆上，有，解得，则，

椭圆C的方程为：

设，，，则，由APM三点共线，

22

则有，即，解得，则，

由BPN三点共线，有则

，即，解得，

=

又点P在椭圆上，满足，有，

代入上式得

=，

可知

为定值．

x2y23例2．已知椭圆C： 2?2?1（a>b>0）的离心率为，且点T?2,1?在椭圆C上，设

2ab与OT平行的直线l与椭圆C相交于P， Q两点，直线TP， TQ分别与x轴正半轴交于

M， N两点．

(I)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)判断OM?ON的值是否为定值，并证明你的结论．

41??1a2b2222解析：（Ⅰ）由题意{a?b?c ，

e?c3?a223

解得： a?22， b?2， c?6 x2y2??1 故椭圆C的标准方程为82（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为

y?1?11?x?2?，即y?x?2． 22x2y2??182联立方程{ ，得x2?4x?4?0，

1y?x?22此时，直线l与椭圆C相切，不合题意． 故直线TP和TQ的斜率存在．

设P?x1,y1?， Q?x2,y2?，则 直线TP:y?1?y1?1， ?x?2?，

x1?2y2?1?x?2? x2?2直线TQ:y?1?故OM?2?x1?2x?2， ON?2?2， y1?1y2?1 由直线OT:y?11， x，设直线PQ:y?x?t（t?0）

22x2y2??182联立方程， { ?x2?2tx?2t2?4?0，

1y?x?t22当??0时， x1?x2??2t， x1?x2?2t?4，

?x?2x2?2??OM?ON ?4??1?

?y1?1y2?1?

24

???x1?2x2?2??4????

11?x1?t?1x2?t?1?22???4?x1x2??t?2??x1?x2??4?t?1?

112x1x2??t?1??x1?x2???t?1?422t2?4??t?2???2t??4?t?1? ?4?12122t?4??t?1????2t???t?1?42???4 ．

跟踪训练六

x2y21．如下图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为

ab?3?eF1??c,0?， F2?c,0?，已知点?1,e?和??e,2??都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

??

（1）求椭圆的方程；

（2）设A， B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行， AF2与BF1交于点P，

（i）若AF1?BF2?6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证： PF1?PF2是定值．

1c2c解析：（1）由题设知a?b?c， e?．由点?1,e?在椭圆上，得2?22?1．

aaba222?e233???1． 解得b?1，于是c?a?1，又点?e,在椭圆上，所以22?2??a4b??222 25