北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择、填空题
x21、（朝阳区2019届高三一模）双曲线?y2?1的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．
42、（东城区2019届高三一模）已知直线l过抛物线y2?8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与
其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为 (A)
816 (B) 3 (C) (D)6 33x2y2x23、?1和双曲线N：2?y2?1的公共焦点，（丰台区2019届高三一模）已知F1,F2为椭圆M：2?m2nP为它们的一个公共点，且PF1?F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为
（A）2 （B）1 （C）
2 2 （D）
1 2x2x2y224、（海淀区2019届高三一模）椭圆C1:?y?1与双曲线C2:2?2?1的离心率之积为1，
4ab则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为 (A)
?????5??2?，? (B) ，? (C) ， (D) ， 663366335、（怀柔区2019届高三一模）已知抛物线y2?2px的准线方程为x??1，则p?__________．
226、（门头沟区2019届高三一模）双曲线C:2x?y?1的渐近线方程是 .
7、（石景山区2019届高三一模）13.
x2y2过双曲线2?2?1的一个焦点F作其渐近线的平行线
abl，直线l与y轴交于点P，若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的
离心率为____．
x2?y2?1具8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设双曲线C经过点（4,0），且与双曲线4有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 .
x2y29、（西城区2019届高三一模）设F1，F2为双曲线C： 2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，若双曲
ab线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离心率为____．
x2y2??1具有相同渐近线，则10、（平谷区2019届高三一模）设双曲线C 经过点（4，3），且与
49C 的方程为________；离心率为________. 参考答案
1、1 2、C 3、B 4、C 5、2 6、y??2x 7、2
x2y21??1 ，y??x. 8、16429、3
x2y2??k，经过点（4,3）， 10、依题意，设双曲线C 的方程为：49所以，
169??k，解得：k＝3， 49x2y2??1， 所以，C的方程为：
1227离心率为：e?
二、解答题
x21、（朝阳区2019届高三一模）已知点M(x0,y0)为椭圆C:?y2?1上任意一点，直线
2l:x0x?2y0y?2与圆(x?1)2?y2?6交于A,B两点，点F为椭圆C的左焦点．
c39? a2（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； （Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；
（Ⅲ）判断?AFB是否为定值，并说明理由．
x2y2??1(m?0)与x轴交于两点A1,A2，与y轴的2、（东城区2019届高三一模）已知椭圆C:4mm一个交点为B，△BA1A2的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P1P1与直线A2P1,P2，直线A2交于点P.以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于M,N两点（点M在点N的左侧），求
PM?PN的值.
3、（丰台区2019届高三一模）已知抛物线C:y2?2px过点M(2,2)，A,B是抛物线C上不同两点，
且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q. （Ⅰ）求抛物线C的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行.
4、（海淀区2019届高三一模）已知抛物线G:y2?2px，其中p?0．点M(2,0)在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x??2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q. (I)求抛物线的方程和F的坐标；
(Ⅱ)判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．
x2y25、（怀柔区2019届高三一模）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，点B(0,b)满足
ab|FB|?2.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F作直线l交椭圆E于M、N两点，若?BFM与?BFN的面积之比为2，求直线l的
方程.
x2y26、（门头沟区2019届高三一模）如图， 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0),F1,F2分别为其左、
ab右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D,E两点，且△F2DE的周长为8,椭圆C的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线l（不与x轴平行）与椭圆相交于A,B两点，点B1是点B关于y轴的对称点. 求证：
（i）Q,A,B1三点共线. （ii）
2. 2QAPA. ?QBPBQyAPOBB1x
1x2y27、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为F(c,0)，
ab2左顶点为A，右顶点B在直线l:x?2上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知M，N为抛物线C:y?4x上两点， M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点.
（I）求直线MN的斜率；
（II）若点B??2,0?满足?OBM??OBN，求此时直线MN的方程.
2x2y29、（西城区2019届高三一模）已知椭圆W:??1的长轴长为4，左、右顶点分别为A,B，
4mm
经过点P(n,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）. （Ⅰ）当n?0，且直线CD?x轴时， 求四边形ACBD的面积；
（Ⅱ）设n?1，直线CB与直线x?4相交于点M，求证：A,D,M三点共线.
x2y2?1，左、右焦点分别为(?c,0)、(c,0)，若点10、（延庆区2019届高三一模）已知椭圆G:2?a2M(c,1)在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线l:2x?2y?m?0(m?0)与椭圆G交于两个不同的点A，B，直线MA，MB
与x轴分别交于P，Q两点，求证：PM?QM．
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