向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题（含详细答案）

rrrr1．已知a?3,b?4，a,b的夹角为120o. rrrrrrrr求（1）agb，a?2b?2a?b；（2）2a?3b

????

rrr2r2．已知向量a、b的夹角为?,|a|?1,|b|?2.

3rr（1）求a·b的值

rrrr（2）若2a?b和ta?b垂直，求实数t的值.

rr3．已知平面向量a???1,2?,b??2,m?

rrrr（1）若a?b，求a?2b；

rrrr（2）若m?0，求a?b与a?b夹角的余弦值.

rrr4．已知向量a?(2,?1),b?(3,?2),c?(3,4)，

（1）求a?(b?c)；

rrr（2）若(a??b)∥c，求实数?的值.

rrr

试卷第1页，总2页

rrrrrr5．已知|a|?2，|b|?3，且(2a?3b)(a?b)?2.

rr（1）求a?b的值；

rr（2）求a与b所成角的大小.

rr6．已知a??1,2?，b???3,4? rrrr（1）若ka?b与a?2b共线，求k； rrrr（2）若ka?b与a?2b垂直，求k.

rrrrrrrrrra?2,b?37．已知,a与b的夹角为60?,c?5a?3b,d?3a?kb, vvc(1)当Pd时，求实数k的值；

rur(2)当c?d时，求实数k的值.

试卷第2页，总2页

参考答案

1．（1）?6，?32； （2）63． 【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义进行求解；

rr（2）根据2a?3b?【详解】

?rr2a?3b?2先求数量积，再求模长．

rrrr解：（1）∵a?3,b?4，a,b的夹角为120o，

rrrr1b?abcos120??3?4?(?)??6， ∴ag2rrrrrrrra?2b?2a?b?2a2?2b2?3agb?2?9?2?16?3?(?6)??32；

rrrr2rrrr （2）2a?3b?2a?3b=4a2?9b2?12agb?4?9?9?16?12?(?6)?63．??????【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题． 2．（1）?1；（2）2. 【解析】 【分析】

（1）利用数量积的定义直接计算即可．

rrrr（2）利用2a?bgta?b?0可求实数t的值．

????【详解】

rrrr2??1??1?2??????1． （1）a?b?abcos3?2?rrrrrrrr（2）因为2a?b和ta?b垂直，故2a?bgta?b?0，

????r2rrr2?1?2t?2?t?1?2???整理得到：2ta??2?t?ag即b?b?0????4?0，

?2?解得t?2． 【点睛】

本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量a,b垂直的等价条件是a?b?0，

答案第1页，总5页

vvvv

本题属于基础题．

rr653． （1）a?2b?5（2）

65【解析】 【分析】

rrrr（1）由题可得a?b?0，解出m?1，a?2b???1,2???4,2???3,4?，进而得出答案。

rra?brrrrcos??rrrr计算得出答案， （2）由题可得a?b?(1,2)，a-b?(?3,2)，再由

a?ba-b【详解】

rrrr因为a?b，a???1,2?,b??2,m?

所以a?b?0，即?2?2m?0 解得m?1

rrrr所以a?2b???1,2???4,2???3,4?

rra?2b?32?42?5

r（2） 若m?0，则b??2,0?

rrrr所以a?b?(1,2)，a-b?(?3,2) rrrrrra?b?5,，a-b?13，a?b??3?4?1

rra?b165cos????rrrr 所以

655?13a?ba-b【点睛】

本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。 4．（1）10；（2）?【解析】 【分析】

11 18rrrrr（1）根据向量的坐标运算，得到b?c，然后利用向量数量积的坐标运算，得到a?b?c的

??值；（2）根据向量的坐标运算，得到a?λb，再根据向量平行得到关于?的方程，求出?的

答案第2页，总5页

rr

值. 【详解】

rrr（1）因为a??2,?1?，b??3,?2?，c??3,4? rr所以b?c??6,2?

rrr所以a?b?c?2?6???1??2?10.

??rr（2）a??b??2?3?,?1?2??

rrr因为(a??b)∥c

所以?2?3???4???1?2???3 解得???【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标表示，根据向量的平行求参数的值，属于简单题.

5．（1）a?b??3；（2）??【解析】 【分析】

11 18rr5?. 6rrrrrr（1）由(2a?3b)?(a?b)?2即|a|?2，|b|?3，利用向量的数量积的运算律，计算可得。

rra?bcos??rr计算出夹角的余弦值，即可求出夹角。 （2）由夹角公式

a?b【详解】

rrrr解：（1）Q2a?3b?a?b?2

????r2rrrrr2?2a?2a?b?3a?b?3b?2

rrQ|a|?2，|b|?3 rr?a?b??3

（2）由（1）知a?b??3，|a|?2，|b|?rrrr3 答案第3页，总5页