《实数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
类型 平方根 立方根 项目 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 ?a 3a 一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根； 相反数； 一个负数有一个负的立方根； 性质 零的平方根为零； 零的立方根是零； 负数没有平方根； (a)2?a(a?0)(3a)3?a重要结论 a2?a(a?0) 33?a??a?a ??a(a?0)3?a??3a
要点二：实数
1
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数??有理数：有限小数或无限循环小数?无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
??正有理数?正数??正无理数?? 实数?0
?负有理数?负数????负无理数?要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环
小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；
②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 (a?0). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：
2
2
数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】
类型一、有关方根的问题
1、下列各式正确的是（ ） A．
??7?2??7 B．9??3 C．3?5?35 D．64?364?4
【答案】D 举一反三：
【变式】如果m有算术平方根，那么m一定是（ ） A．正数 【答案】C
2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）2?1.414，200?14.14，20000?141.4…0.03?0.1732，3?1.732，300?17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位； （2）已知5?2.236，50?7.071，则0.5? ，500? ；
（3）31?1，31000?10，31000000?100…小数点变化的规律是： ． （4）已知310?2.154，3100?4.642，则310000? ，?30.1? ．
【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642 类型二、与实数有关的问题
B．0
C．非负数
D．非正数
3、 3.14，-．把下列各数填入相应的集合中：
?93- 0 ，1.212212221… ，3，0.151151115 ，，?100，2173
无理数集合{ … }；
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