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（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?2,AB?AC?1
∴AB?AC ……………6分 以A1为坐标原点，以A1B1, A1C1 A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示。 由（Ⅰ）知C1为A1P中点 ∴点A1,B1,D,P坐标分别为
1A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，D(0,1,)，P(0,2,0)
21A1B1=(1,0,0),A1D=(0,1,)
2设平面A1B1D的法向量m?(x,y,z) ∵m?A1B1且 m?A1D
?x?0?∴?取z?2 ∴m?(0,?1,2) ……………8分 1y?z?0??2同理：平面PB1D的法向量n?(2,1,2) ……………10分 设二面角A1?B1D?P平面角为?
则cos??25|m?n|52， ∴sin??1?cos?? ……………12分 ?55|m||n|19．（本小题满分12分）
随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
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付款方式 频数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期 a b 已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求a，b的值，并求事件A：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用X表示销售一部苹果7手机的利润，求X的分布列及数学期望EX. 解：(Ⅰ)由a，得a=15,因为35+25+a+10+b=100,所以b=15. ………3
100分
=0.151P(A)=(1-0.1)3+C3创0.1(1-0.1)2=0.972. ………6
分
（Ⅱ）设分期付款的分期数为x，则
x=4)=0.1,P(x=5)=0.15. …8P(x=1)=0.35,P(x=2)=0.25,P(x=3)=0.15,P(分
X的所有可能取值为1000，1500，2000.
P(X=1000)=P(x=1)=0.35,
P(X=1500)=P(x=2)+P(x=3)=0.4,
P(X=2000)=P(x=4)+P(x=5)=0.25. ………10
分
所以X的分布列为
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X P 1000 0.35 1500 0.4 2000 0.25 EX=1000?0.351500?0.42000?0.251450. ………12
分
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C：y?2x2，直线l:y?kx?2交C于A,B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点N.
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N的切线与AB平行； （Ⅱ）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点
N，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）解法一：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，把y?k x?2代入y?2x得2x?kx?2?0，
22得x1?x2?k． 2?kk2?x1?x2k∵xN?xM??，?N点的坐标为?，?． ………………………2
24?48?分
∵y?4x, ∴y'|'x?k4?k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k． ………………………4分
∵直线l:y?kx?2的的斜率为k，∴l∥AB． ……………………6分
解法二：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，把y?kx?2代入y?2x得2x?kx?2?0，
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得x1?x2?k． 2?kk2?x1?x2k∵xN?xM??，?N点的坐标为?，?． ……………………2分
24?48?k2k??设抛物线在点N处的切线l的方程为y??m?x??，
84??mkk2??0， ………………………4分 将y?2x代入上式得2x?mx?4822?mkk2????m2?2mk?k2?(m?k)2?0， 直线l与抛物线C相切，???m?8?8??42?m?k， 即l∥AB． …………………6分
（Ⅱ）假设存在实数k，存在实数k使AB为直径的圆M经过点N．
M是AB的中点，?|MN|?由（Ⅰ）知 yM?1|AB|． 2111(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4] 222?k21?k2???4???2 2?2?4k2k2k2?16． …………………8MN?x轴， ?|MN|?|yM?yN|??2??488分
∵|AB|?1?k?(x1?x2)?4x1x2
22212?k?2k?1?k2?16． ……………………10 ?1?k????4?(?1)?2?2?分
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