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k2?1612?k?1?k2?16，∴k??2， 84故，存在实数k??2使AB为直径的圆M经过点N． ………………12分 21．(本小题满分12分) 已知函数f?x??xlnx?a2x?x?a(a?R) 2（Ⅰ）当a?0时，求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a的取值范围；
2（ⅱ）设两个极值点分别为x1,x2，证明:x1?x2?e．
解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?xlnx?x.； 函数f(x)的定义域为(0,??)，f￠(x)=lnx 当x>1时，f￠(x)>0；当0 所以，f(x)在(0,1)上单调递减；在(1,+?)上单调递增. ………………4分 (Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数f(x)的定义域为(0,??)，f￠(x)=lnx-ax 所以方程f?(x)?0在(0,??)有两个不同根. 即，方程lnx?ax?0在(0,??)有两个不同根. （解法一）转化为，函数y?lnx与函数y?ax 的图像在(0,??)上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数y?lnx图像的直线斜率为k， 只须0?a?k. ………………6分 优质文档 优质文档 令切点A(x0,lnx0)，所以k?y?|x?x0?lnx01lnx01?，又k?，所以， x0x0x0x0解得，x0?e，于是k?1， e所以0?a?1. ………………8分 e（解法二）令g(x)?lnx?ax，从而转化为函数g(x)有两个不同零点， 而g?(x)?11?ax?ax?（x?0） xx若a?0，可见g?(x)?0在(0,??)上恒成立，所以g(x)在(0,??)单调增， 此时g(x)不可能有两个不同零点. ………………5分 若a?0，在0?x?11时，g?(x)?0，在x?时，g?(x)?0， aa1a所以g(x)在(0,)上单调增，在(,??)上单调减， 1a从而g(x)极大?g()?ln1a1?1 ………………6分 a又因为在x?0时，g(x)???，在在x???时，g(x)???，于是只须： g(x)极大?0，即ln11?1?0，所以0?a?. ………………7分 ae1 ………………8分 e综上所述，0?a?（ⅱ）由（i）可知x1,x2分别是方程lnx?ax?0的两个根， 即lnx1?ax1，lnx2?ax2， xln1x1?a(x1?x2)，即x2. 不妨设x1?x2，作差得，lna?x2x1?x2优质文档 优质文档 2原不等式x1?x2?e等价于 lnx1?lnx2?2?a?x1?x2??2?lnx12?x1?x2?? x2x1?x2x12?t?1?x12?x1?x2??tln??lnt?令，则t?1， ………………10分 x2x2x1?x2t?1?t?1??02?t?1?g't???设g?t??lnt?，， ,t?12t?1t?t?1?∴函数g?t?在?1,???上单调递增， ∴g?t??g?1??0， 2即不等式lnt?2?t?1?成立， t?12故所证不等式x1?x2?e成立． ………………12分 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1??x?22cos?的参数方程为?（?为参数），曲线 C2的极坐标方程为 ??y?2sin??cos??2?sin??4?0． （1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求PQ的最小值． 优质文档 优质文档 ?x2y2?x?22cos???1 ．解：（1）由?消去参数?得，曲线C1的普通方程得．．．．384??y?sin?分 由?cos??2?sin??4?0得，曲线C2的直角坐标方程为x?2y?4?0 ．．．．5分 （2）设P22cos?,2sin?，则点P到曲线C2的距离为 ????????4cos???44?4cos??????22cos??22sin??44?4??? ．．．．．．．．．．．8d???1?233分 当cos???分 ????．．．．．．．．．．．．10??1时，d有最小值0，所以PQ的最小值为0 ． 4?23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R，且f(x?2)?0的解集为??1,1?． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R，且 ?111???m，求证：a?2b?3c?9． a2b3c解：（Ⅰ）因为f(x?2)?m?|x|， 所以f(x?2)?0等价于|x|?m， 由|x|?m有解，得m?0，且其解集为x|?m?x?m?． 又f(x?2)?0的解集为??1,1?，故m?1 ．．．．．．．．．．．．5分 优质文档 ?
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