专项三 特色讲练数学传统文化
年份 2018 卷别 卷Ⅲ 考查内容及考题位置 三视图·T3 数学文化题是近几年课标全国卷中出现卷Ⅰ 卷Ⅱ 2016 卷Ⅱ 中国古代太极图与几何概型·T2 数列求和·T3 秦九韶算法·T8
立体几何中的数学文化题
立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．
[典型例题]
(1)(2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章
算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．
(2)(2018·黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，一个焦点为(5，0)．直线y＝0与y＝3在第一象限内与双曲线及
渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为________．
【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥
的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易. 命题分析 2017 A-BCD所示，其中AB＝22，BC＝CD＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A-BCD 的外接球，
设外接球的直径为2R，所以4R＝(22)＋(2)＋(2)＝8＋2＋2＝12，则R＝3，因此外接球的表面积S＝4πR＝12π.
2
2
2
2
2
2
(2)由题意可得双曲线的方程为x－＝1，直线y＝3在第一象限内与渐近线的交点N4
2
y2
?13??3?的坐标为?，3?，与双曲线在第一象限内的交点B的坐标为?，3?，在所得几何体中，
?2??2??hh?在高为h处作一截面，则截面面积为π?1＋－?＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的
?44?
体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.
【答案】 (1)12π (2)3π
(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积．此类问题源于生活中的盖房问题．这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能．对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注．
(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人教A版《必修2》教材第30页专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优秀传统文化．
[对点训练]
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十12六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈Lh.
3672
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈Lh相当于将
264圆锥体积公式中的π近似取为( )
A.C.22 7157 50
B.D.25 8355 113
2
2
127272
解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝πrh≈Lh＝(2πr)h，化
326426422
简得π≈.故选A.
7
数列中的数学文化题
数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．
[典型例题]
(1)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：
“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )
A.C.50
斗粟 715
斗粟 7
B.D.10
斗粟 720
斗粟 7
(2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)，其中a是上底长，b是上底宽，c66是下底长，d是下底宽，n为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )
nn
A．83 C．85
B．84 D．86
【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数520205
依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－777715
＝，故选C. 7
420
法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝(斗)，羊主人
77
1520515
应赔偿5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝(斗)，故选C.
77777
(2)由三视图知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]
6＋(c－a)得s＝85，故选C. 6
【答案】 (1)C (2)C
解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．
[对点训练]
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )
7A.钱 62C.钱 3
5B.钱 6D.1钱
nn解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.
算法中的数学文化题
算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．
[典型例题]
(1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多
边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)( )
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