1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)
aex
1．已知函数f(x)＝＋x.
x
(1)若函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线经过点(0，－1)，求a的值；
(2)是否存在负整数a，使函数f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由．
aex?x－1?＋x2
解 (1)∵f′(x)＝，
x2∴f′(1)＝1，f(1)＝ae＋1.
∴函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 y－(ae＋1)＝x－1，
又直线过点(0，－1)，∴－1－(ae＋1)＝－1， 1
解得a＝－.
e
aex?x－1?＋x2
(2)若a<0，f′(x)＝，
x2当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x∈(0,1)时，f′(x)>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．
方法一 当x∈(1，＋∞)时，若f(x)在x0处取得符合条件的极大值f(x0)，
x0>1，??
则?f?x0?>0，??f′?x0?＝0，
???x0?1,①?x0则ae?x?0,② ?0?x0?aex0(x?1)?x200??0,③2?x0?x2x00由③得ae＝－，代入②得－＋x>0，
x0－1x0－10
x02x0aex0结合①可解得x0>2，再由f(x0)＝＋x0>0，得a>－x，
e0x0x?x－2?x2
设h(x)＝－x，则h′(x)＝，
eex当x>2时，h′(x)>0，即h(x)是增函数， 4
∴a>h(x0)>h(2)＝－2. e
4
－2，0?， 又a<0，故当极大值为正数时，a∈??e?从而不存在负整数a满足条件．
方法二 当x∈(1，＋∞)时，令H(x)＝aex(x－1)＋x2， 则H′(x)＝(aex＋2)x，
∵x∈(1，＋∞)，∴ex∈(e，＋∞)， ∵a为负整数，∴a≤－1，∴aex≤ae≤－e， ∴aex＋2<0，∴H′(x)<0， ∴H(x)在(1，＋∞)上单调递减．
又H(1)＝1>0，H(2)＝ae2＋4≤－e2＋4<0， ∴?x0∈(1,2)，使得H(x0)＝0， 且当1
aex0∴f(x)在x0处取得极大值f(x0)＝＋x0.(*)
x02
又H(x0)＝aex0(x0－1)＋x0＝0，
aex0x0∴＝－，代入(*)得
x－10x0f(x0)＝－
x0?x0－2?x0＋x0＝<0， x0－1x0－1
∴不存在负整数a满足条件．
?f?x?，f?x?≥g?x?，?
2．已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a>0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝?
??g?x?，f?x? (1)求函数f(x)的极值； (2)若g(x)＝xf′(x)，且?x∈[1,2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围． 解 (1)∵函数f(x)＝ax3－3x2＋1， ∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)， 2 令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝， a∵a>0，∴x1 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) (－∞，0) ＋ 0 0 ?0，2? ?a?－ 2 a0 ?2，＋∞? ?a?＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2?8124 ∴f(x)的极大值为f(0)＝1，极小值为f ?＝2－2＋1＝1－2. ?a?aaa(2)g(x)＝xf′(x)＝3ax3－6x2， ∵?x∈[1,2]，使h(x)＝f(x)， ∴f(x)≥g(x)在[1,2]上有解，即ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2在[1,2]上有解， 13 即不等式2a≤3＋在[1,2]上有解， xx 2 133x＋1 设y＝3＋＝3(x∈[1,2])， xxx －3x2－3∵y′＝<0对x∈[1,2]恒成立， x413 ∴y＝3＋在[1,2]上单调递减， xx13 ∴当x＝1时，y＝3＋的最大值为4， xx∴2a≤4，即a≤2. 高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形 ππ x＋?sin?x－?，x∈R. 1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x＋sin??4??4?(1)求f(x)的最小正周期和值域； π 0≤x0≤?为f(x)的一个零点，求sin 2x0的值． (2)若x＝x0?2??1 解 (1)易得f(x)＝sin2x＋3sin 2x＋(sin2x－cos2x) 2＝ 1－cos 2x1 ＋3sin 2x－cos 2x 22 π11 2x－?＋， ＝3sin 2x－cos 2x＋＝2sin?6?2?235 －，?. 所以f(x)的最小正周期为π，值域为??22?π1 2x0－?＋＝0，得 (2)由f(x0)＝2sin?6?2?π1 2x0－?＝－<0， sin?6??4
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