【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题09 一元二次方程及其应用(教师版)

专题09 一元二次方程及其应用

专题知识回顾

1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法

有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。

适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边；

③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。

2?b?b?4ac当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：x?的形式，这个式子叫做一元二次方

2a程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2? x1?2a2a②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

x1?x2??b 2a③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系

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如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??2bc，x1x2?。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。

专题典型题考法及解析

【例题1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1．

【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可． 两边直接开平方得：x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1．

【例题2】(2019山西）一元二次方程x?4x?1?0配方后可化为（ ） A.(x?2)?3 B.(x?2)?5 C.(x?2)?3 D.(x?2)?5 【答案】D

【解析】x?4x?1?0,(x?4x?4)?4?1?0,(x?2)?5，故选D。

【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．

22222222【答案】x1＝，x2＝．

【解析】直接利用公式法解方程得出答案．

2

3x2＝4﹣2x 3x2+2x﹣4＝0，

则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， 故x＝解得：x1＝

， ，x2＝

．

【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ． 【答案】1或2．

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1

【例题5】（2019北京市） 关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【答案】m=1，此方程的根为x1?x2?1

【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式b2?4ac?0进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可. ∵关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，

∴??b2?4ac???2??4?1??2m?1??4?8m?4?8?8m?0 ∴m?1

又∵m为正整数，∴m=1，

此时方程为x2?2x?1?0解得根为x1?x2?1， ∴m=1，此方程的根为x1?x2?1

【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ． 【答案】16

【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4， ∴（x1+4）（x2+4） ＝x1x2+4x1+4x2+16 ＝x1x2+4（x1+x2）+16

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