韦达定理的应用

浅 议 韦 达 定 理 的 应 用

安 徽 省 安 庆 市 五 横 初 中 戴 向 阳

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【韦达定理】内容：如果m、n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则有mn=c/a，理在其它方面的灵活运用。

二、韦达定理的巧用 m+n=-b/ a。韦达定理是反映一元二次方程的根与系数关系的重要定理。是研究以下两方面问题的重要又快捷的手段：已知方程系数，探索根的符号及代数式；已知方程的根或根的代数式，确定方程的系数。是有效解决一些复杂问题的良方妙药，它的潜在价值，使它成为数学中独特的方法，在诸学科方法中成为一道亮丽风景线。

其基本应用有：不解方程，检验两个数是否是一元二次方程的两根；已知方程的一根，求另一根及方程系数；已知方程两根，写出一元二次方程一般形式x2-（m+ n）x+mn=0。

一、韦达定理常规应用

i）运用韦达定理，检验一元二次方程的根

例1关于x的方程x2-（2n+1）x+ n2+n=0

的两根分别是（ ）

A x1 =- n，x2 =- n-1 B x1 =- n，x2 = n C x1 = n ，x2 = n+1 D x1 =n，x2 = n2

【点拨】利用韦达定理，逐项验证，可得正确选项C。

ii）运用韦达定理，求一元二次方程的另一根及相关参数

例2 【07芜湖】已知2-√5是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是 。

【点拨】根据韦达定理知：两根之和是4，由一根是2-√5，得另一根为2+√5。

例1如果从正面入手，试图解一元二次方程，则比较繁琐。即使可用因式分解法解，知道的人也不多。例2若从常规着眼，先将已知根代入方程求出c值，再解方程，也因2-√5无理式之故，增加了计算量，再解方程既耗时又易错。相比【点拨】，【点拨】解法早已超出事半功倍之效。下面介绍韦达定

⑴、利用韦达定理求两根的对称式或轮换式等的值。

例3【08天门】已知关于x的方程x2+4x+m-1=0。⑴请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；⑵设α，β是⑴中你所得到的方程的两个实数根，求α2 +β2 +αβ的值。

【点拨】由⑴当m=1，原方程化为x2+4x=0，根据韦达定理得α+β=-4，αβ=0，∴α2 +β2 +αβ=（α+β）2 -αβ=（-4）2 -0=16。

⑵、逆用韦达定理构建一元二次方程，转化为方程根。

例4解方程组 a+b=3

ab=2

【点拨】根据韦达定理，a、b可视为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，通过解该方程易得 a=2，或 a=1， b=1 b=2 。

⑶、利用韦达定理探讨与根的符号相关的问题。

例5当a为何值时，方程x2-（a+1）x +a+4=0的两个根都是正数。

【解】设两个实根为m、n，则它们都是正数的条件为

△≥0 （a+1）2-4（a+4）≥0 m+n＞0 即 a+1＞0 mn＞0 a+4＞0 解不等式组得a≥5。

故当a≥5时，方程的两个根都是正数。⑷、把握代数式或方程结构特点，转化为韦达定理求代数式值。

例6已知a 2-3a=1，b 2-3b=1，且a≠b，求b/ a 2+ a/ b 2的值。

【解】观察已知中两式特点，发现a、b可视作方程x2-3x-1=0的两根，故有a+b=3，ab=-1。从而b/ a 2+ a/ b 2 =（a 3+b 3）/a 2b2 =

｛（a+b）3 -3ab（a+b）｝/ a 2b2 =27+3×3=36。 ⑸、利用韦达定理，巧证等式。

例7已知（a-c）2-4（a- b）(b- c)=0且a≠b,求证: a+c=2b。

【证明】构造方程（a- b）x2 -（a-c）x + b-c=0。当x =1时，方程左边=a-b-a+c+b-c=0 所以x1 =1是方程的一个根。又由已知条件知△=0，故方程有两个相等实根。∴x1= x2=1，于是由韦达定理，得x1 x2 = (b- c)/（a- b）=1，即b- c= a- b，故a+c=2b。

⑹、利用韦达定理，巧解无理方程。 【1979年成都市中学数学竞赛题】解方程：

n 4- x n x 2 x 4- x

【解】设第一项为a，第二项为b。则可得方程组 a+b=2 ab=1

从而a、b是方程t2-2t+1=0的根，解得a=b=1。故

n 4- x 1 或 n x 1 x 4- x 解得x =2。

笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使是有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”正确地运用韦达定理，会使茫无头绪的问题，拨开云雾见太阳，水落石出。