教学时数：共6节，8学时
2.1 整数剩余类环
复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点：
1. 整数剩余类环的定义及基本性质。 2. 环同态定义、理想定义、环同态基本定理。 3. 整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容：
整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。整除性问题常常是
2数论中的困难问题。法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如2+1的数
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都是素数，直到大约100年之后2+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（Leonhard Euler，
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n1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×6700417，可见整数的整除问题具
有一定的难度。
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。对于两个整数a，b（b>0）存在整数q，r使a=qb+r 且0?r＜b。式中q称为商，r称为余数。在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。因此有下面的同余概念。
定义1 假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Zm，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。定义Zm上的加法与乘法运算：
[a]+[b]=[ a+b] [a]·[b]=[ab]
容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[ b]=[b1]时[a]+[b]=[ a1] + [b1]，[a]·[b]=[ a1]·[b1]。
定理2.1.1 Zm成为一个环。
该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。证明留给读者作为练习。 Zm称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。我们也可以把它看成一个有限数系。借助环Zm常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。
例 Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：
奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶
奇·奇=奇，奇·偶=偶，偶·偶=偶
定义2 设R与S是两个环，映射?：R→S若满足条件：对每a，b∈R有?(a+b)=?(a)+?(b)，?(ab)=?(a)?(b)，则?称为环同态。若?是满映射，则?称为满同态；若?是单映射，则?称为单同态；若?是既单又满的环同态，则称?为环同构。
满同态记为 ?：R ~ S 环同构记为 ?：R ? S
定义3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。 定理2.1.2 定义映射?：Z→Zm使?(a)=[a]，则?是环同态。 证 证明十分简单，略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。 定理2.1.3 两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
证 如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±1。 反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。对a+b作归纳。由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r 且0?r＜b。
如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。如果r≠0，则b，r互素。由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r =1，于是t1a=t1qb＋t1r =t1qb＋1－s1b。因此t1a＋(s1－t1q)b=1，定理得证。
定理2.1.4 若p是素数，则Zp是域。
证 只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，
t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注：Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。
定义4 设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：对每 r?R 有rA，Ar ? A，其中 rA={ ra | a?A }，Ar={ ar | a?A }，则称A是R的理想。
如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系 a?b 当且仅当 a-b?A。容易检验 ? 是R上的一个等价关系，商集合记为R= R/A。R的元记为[r]=r+A， 定义R上的运算 [a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。这样R成为一个环，称之为模A剩余类环。
我们有下面的同态基本定理
定理2.1.5 （1）假定R与R是两个环，并有环同态 ?：R?R，则 A={ r?R | r=o}是R的理想，且有环同构R?R/A。
上面的? 称为自然同态，记A=ker?，称之为同态?的核。 （2）反之，若A是R的理想，则有环同态 R?R/A=R。
证 （1）对每a、b?A，?（a-b）=a-b=0，故a-b?A，说明A是一个加群。进一步若r?R，a?A，则?（ra）=ra=0，ra?A，同样ar?A。因此A是R的理想。容易验证?：r?r+A是环同构R?R/A。
（2）容易知道映射?：R?R/A使?（r）=r是环同态。
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