思考问题4 问定理2.1.2中环同态?：Z→Zm的同态核A=？ 解答：同态核A=(m)={am | a?Z}，因此由定理2.1.5 Zm≌Z/(m)。
练习作业
1. 设m是一个正整数，证明同余的性质 (1)若a≡b(m)，c=d(m)，则a±c≡b±d(m) (2)若a≡b(m)，c=d(m)，则ac≡bd(m) (3)若a≡b(m)，则ad≡bd(m)
(4)若ad≡bd(m)，且(d，m)=1，则a≡b(m)
2. Z是整数环，2Z=｛2a︱a?Z｝在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶数环，?：a→2a是Z→2Z的一个映射，问?是不是环同构？
3. 设R是一个有单位元的环，a，b?R，证明1?ab可逆当且仅当1?ba可逆。
4. 假定R是一个交换环，证明A={a?R| 存在某个正整数n使an=0}是R的一个理想。这个理想称为幂零元理想。
2.2 整环的分式域
复习引入：上节我们从整数环出发，构造整数模n剩余类环Zn，由同态基本定理，剩余类环Zn≌Z/(n)。这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。有限数系Zn在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
内容要点：
1. 证明整环嵌入分式域定理。
2. 整环的分式域是包含这个整环的最小域。 3. 了解一些常见整环分式域的实例。
讲解内容：
在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus建立的，并被收入欧几里德(Eudid)《几何原本》的第五卷。
两个可公度的量a与b可以通过下面的方法来比较。选定一个(足够小的)公共单位量，使量a是单位量的整数倍，b也是单位量的整数倍。在这一观点之下，量a与b实际都可认为与
一个整数对应。现在量a与b的比就是两个整数的比a/b。Eudoxus发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是
(1) (2) (3)
ana? bnbacad?bc?? bdbdacac?? bdbd上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。Eudoxus的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。由此我们有下面的整环的定义。
定义1 设R是一个环，对R的每两个非零元a、b，如果ab=0则a称为R的左零因子，b称为R的右零因子。当R是交换环时零因子没有左、右的区别。
一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。
例 整数环当然是整环；域上的多项式环也是整环；Zn是整环当且仅当n是素数。 定义2 设R是一个环，S是R的一个非空子集，如果S在R的加法与乘法运算之下也成为一个环，则S称为R的子环，我们说一个环S1可以嵌入环R，是指环S1与R的一个子环S同构。
下面的定理与Eudoxus的比例论相当。 定理2.2.1 每一个整环都可以嵌入一个域。 证 证明分为以下三步
(1)设已知的整环为R。作集合A=｛(a，b)∣a，b∈R，b≠0｝。定义A上的关系(a，b)～(c，d)当且仅当ad=bc，容易验证这是一个等价关系。
记F为A的等价类作成的集合，把F的元素表为
acad?bca.cac ;?+= bdbdbdbda，定义F上的运算 b容易验证上面的运算与等价类代表元的取法无关，即如果
a1ac1ca1c1aca1c1ac=,= 则 +=+, .=.. b1bd1db1d1bdb1d1bd0a?a(2)验证F在上面定义的运算之下成为一个域。首先F成为一个加群，其零元素是, -=,
bbbF对于乘法封闭,且F中的非零元成为一个群,群的单位元是立:
acsact?sdact?asd(+)=()=( )=
dtbdtbbdtbab, 而且()-1=。分配律成bbaacasa.ca.s+=+ , 因此F是一个域。 bdbtbdbt(3)F的子集R1={0时
abab|a,b?R,b?0}组成F的一个子环，命?:R?R1 使 ?(a)= ,由于b1≠bbab1abab1ab=,故?是R到R1上的映射。若=则a1b1b=abb1,于是(a1－a)bb1=0,但因R是整b1bb1b，
环，没有零因子，故a1=a，说明?是一一映射。容易验证?是环同构，因此R与域F的一个子环同构。定理得证。
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