注 1. 定理2.2.1的证明不依赖R有单位元这一条件，因此实际上我们证明了每个没有零因子的交换环都可以嵌入一个域。
2. 由整环R所构造的域F，其元素形如3. 整数环的分式域是有理数域。
下面的定理说明分式域是包含一个环的最小域。
定理2.2.2 如果一个非零环R含在一个域F中，则F含R的分式域。
a证 对于R的元a，b，只要b≠0，则分式元 =ab-1?F，且分式元满足下列运算法则
bac?当且仅当ad=bc bdacad?bc?? (*) bdbda, 因此F称为R的分式域。 ba.cac? bdbd因此R的分式域F1 ={
a| a，b∈R，b≠0}是F的子域。 b注 环R的分式域F1由等式（*）决定，而等式（*）由R的运算决定。因此同构的环，分式域也同构。
例 设F是一个域，容易知道多项式环F[x]是一个整环，由定理2.2.1 F[x]有分式域，记分式域为F(x)。由分式域的构造，F(x)含所有的分式
f(x)，其中f(x)，g(x)∈F[x]且g(x)≠0。由g(x)
定理2.2.2 F(x)是含多项式环F[x]的最小域。从另一个观点看问题，F(x)也是含域F同时又含一个不定元x的最小域，F(x)也称为域F的超越扩域。
思考问题5 问一个无零因子的交换环R与它的子环S在什么条件下有相同的分式域。
参考答案 对?∈R记?S={?u | u∈S }。我们证明下面结论：无零因子交换环R与它的子环S有相同的分式域当且仅当对每?∈R都有?S?S≠{0}。
证明：充分性。如果对每0≠?∈R都有?S?S≠{0}，则存在0≠ a、b∈S使a =? b。设R、S的分式域分别为F与L。于是在S的分式域L中?= a / b∈L，这样R?L，F?L，因此F=L。
必要性。如果存在0≠?∈R使?S?S={0}，我们断言??L。否则，如果?∈L，则?=a / b，a、b∈S，这样a = b?∈R，当然a≠0因此?S?S≠{0}，与假设矛盾。
练习作业
1.问一个域的分式域是什么？
2.求复整数环Z(i)={a+bi | a,b?Z}的分式域。
3.求多项式环Z[x]的分式域。
4.偶数环2Z={2a | a?Z }是一个无零因子的交换环，求偶数环的分式域。 5.*问一个无零因子的交换环R与它的子环S在什么条件下有相同的分式域。
2.3 素域与扩域
复习引入：在中学数学中，大家所熟悉的数域主要是有理数域、实数域与复数域，这三个数域的共同特点是：它们都包含有理数域作为它们的子域。那么，一般的域是否也有类似的性质呢？本节将回答这个问题。
内容要点：
1. 无零因子环的特征。 2. 素域与扩域的定义。 3. 两类不同的素域。
4. 域上的n次方程最多n个根。
讲解内容：
定义 设K是一个域，如果K的非空子集F在K的加法与乘法运算之下也成为一个域，则F称为K的子域，而K称为F的扩域。
一个域如果不包含更小的子域，则称为素域。因为若干个子域的交集还是一个子域，因此素域是存在的而且也是唯一的。
为了研究素域，我们先证明没有零因子环的一个重要的性质。
定理2.3.1 设R是一个没有零因子的环，则R满足下面两个条件之一：
(1) 对每0≠a∈R及整数n , na=0，当且仅当n=0。这时称R的特征为0，记为char R=0。 (2)存在一个素数p使对每a∈R有pa=0。这时称R的特征为p，记为char R=p。 证 (1)若存在某个非零元a∈R使每个非零整数n都有na≠0，我们要证R的任一个非零元b都有nb≠0。否则若nb=0，则(na)b=a(nb)=0。因R无零因子，且b≠0，故na=0，与a的性质矛盾。说明这时char R=0。
(2)若char R≠0，则存在R的非零元a及非零整数n使na=0，假定n是满足这一性质的最小正整数，下证这时n必为素数。否则若n=st，0＜s，t＜n，则sa·ta=(sta)a=(na)a=0。因为R无零因子，故sa=0或ta=0，与n的最小性矛盾，故n=p是一个素数。
下证每b∈R都有pb=0。因为(pb)a=b(pa)=0，但a≠0，故pb=0。于是char R=p。 定理2.3.2 素域F只有以下两种： (1)char F=0时F≌Q(有理数域)， (2)char F=p时F≌Zp。
证 设F是一个素数，e是F的单位元，则Ze=｛ne∣n∈Z?F｝是含于域F中的子环。我
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