们有下面两种可能的情形：
(1)char F=0，则ne=0当且仅当n=0。于是有环同构Ze≌Z。由定理2.2.2 F含Ze 的分式域，而Ze的分式域与整数环Z的分式域Q同构，故F≌Q。
(2)char F=p，则pe=0。这时容易验证Ze≌Zp，而Ze的分式域F≌Zp。
注 由定理2.3.2从同构的意义上说任何域都可以看成有理数域Q的扩域或者p元域Zp
的扩域。
定理2.3.3 域上的n次多项式最多有n个根。
证 若x=a是多项式f(x)的一个根，则利用多项式的带余除法，存在多项式q(x)及系数域中的元r使f(x)=q(x)(x－a)＋r ，但f(a)=0，故r=0，因此f(x)=g(x)(x－a)。若f(x)次数为n则q(x)的次数为n－1，由归纳q(x)最多n－1个根，因此f(x)最多n个根。
练习作业
1．方程x2＋1=0在有理数域中没有根，问在有限域Z5中有没有根，有几个根？ 2．记F=Z2是含2个元素的域，证明多项式x2+1在多项式环F[x]中可约，而x2+x+1在多项式环F[x]中不可约。
3．假定F=Z2，?是F[x]中不可约多项式x2+x+1的一个根，证明F(?)={0，1，?，1+?}是一个含4个元素的域。求多项式x2+x+1的另一个根。
4．假定F=Z2，求F[x]中所有3次不可约多项式。
2.4 素数的欧拉分解
复习引入：从1.1节思考问题1，我们已经知道素数p在复整数环Z(i)中存在非平凡分解当且仅当p=a+b，进一步的问题是：素数P能够写成2整数平方和的充分必要条件是什么？
本节将利用整数剩余类环的方法证明著名的欧拉定理：素数P能写成2整数平方和当且仅当p≡1(4)。
内容要点：证明“欧拉二平方和定理”，为此我们首先必须证明Fermat定理与Wilson定理，但是我们的方法是初等的、而且与前一节的上下文互相关联，我们尽可能避免采用纯数论的方法。提示学生在学习中注意到，抽象代数的方法比纯初等数论的方法具有一定的优势。
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讲解内容：
高斯发现复整数环Z(i)={a+bi | a、b?Z }具有与整数环Z十分类似的因子分解唯一性，这点我们将在第6章中加以证明。但是一个通常的整数在整数环中的因子分解与在复整数环中的分解很不一样。例如通常的素数2在复整数环中不再是素元，而存在非平凡分解2=(1＋i)(1－i)。
5也一样，5作为通常的整数是素数，不存在非平凡分解，但5=(2＋i)(2－i)，5在复整数环中也不再是素元。下面我们要研究通常的素数p在复整数环中的因子分解问题。首先如果复整数?=a＋bi是通常素数p的因子，则?的共轭复数?也是p的因子。由于??是实数，因而也是通常的整数，因此??= p。而p=(a＋bi)(a－bi)的充分必要条件是x2＋y2=p有正整数解。现在问题转化为不定方程x2＋y2=p的可解性。为了研究这个数论问题，我们先证明下面两个重要的数论定理。
定理2.4.1(Fermat) 设p是素数，a是整数，p?a，则ap－1≡1(p) (*)
证 记b=a－1则a≡(b＋1)≡b＋1≡(a－1)＋1≡(a－2)＋2≡?≡1＋(a－1)≡a(p)，说明p︱a－a=a(a－1)。但p?a，故p︱a－1即a－1≡1(p)。
定理2.4.2(Wilson) 若p是素数，则(p－1)!＋1≡0(p)。
证 由Fermat定理方程x p－1－1=0在域Zp中有p－1个根:[1]、[2]、?[p－1]。由定理2.3.3 方程x p－1－1 = 0中Zp只有这p-1个根，由根与系数的关系得
(p－1)!≡－1(p)
注 为了语言简便，在上面的证明过程中我们说在域Zp中解方程x p－1－1=0与求同余式x
p－1
p
p-1
p-1
p
p
p
p
p
p
p
－1≡0(p)的整数解是同一个意思。
定理2.4.3(Euler) 奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p≡1(4)。
证 只要证明方程x2＋y2=p有正整数解当且仅当p≡1(4)。首先若x2＋y2=p有正整数解，
则其解x、y一奇一偶，奇数平方≡1(4)，而偶数平方≡0(4)，故这时p≡1(4)。
下面假定p≡1(4)。记a=a2≡(?1)
p?12p?1!，由Wilson定理 2(
p?12p?1p?1!)≡[(p?1)(p?2)?(p?)]!≡(p-1)!≡?1(p) 222因此a2＋1≡0(p)。
记b=[p]是不超过p的最大整数，于是(b＋1)2?p＋1。整数集｛x－ay︱0?x，y?b｝含(b＋1)2个元，故至少有两个模p同余，有x1－ay1≡x2－ay2。记x=x1－x2，y=y1－y2，则︱x︱,︱y︱?b且x≡ay(p)。因此x2＋y2≡(a2＋1)y2≡0(p)，但x2＋y2?2b2＜2p，因此x2＋y2=p有正整数解，定理得证。
欧拉定理实际上告诉我们一个素数能够表为两个整数的平方和的充分必要条件，我们还将在2.6节进一步证明每个正整数都能表为四个整数的平方和。为此，我们先在2.5节讨论一种性质与复数域十分类似的四元数除环。
练习作业
证明存在无限多个形如4k?1的素数。（提示：考虑模仿证明“素数无限多”的欧几里德方法。注意到这种方法难以直接应用于证明“存在无限多4k+1型素数” ）
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