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2.5 等比数列的前n项和(二)
自主学习
知识梳理 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝____________＝____________；当q＝1时，Sn＝________.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成________数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
S偶
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝________.
S奇
a13．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A
1－q
＝________.
4．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型． 自主探究
＋n＋1
－bn1nn－1n－22na利用等比数列前n项公式证明a＋ab＋ab＋…＋b＝，其中n∈N*a，ba－b
是不为0的常数，且a≠b.
对点讲练
知识点一 等比数列前n项和的证明问题
例1 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋2
>log0.5Sn＋1.
2
2
总结 本题关键是证明Sn·Sn＋2 变式训练1 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：2 S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)． 知识点二 等比数列前n项和的实际应用 例2 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35. 总结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度． 变式训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 知识点三 等差数列、等比数列的综合问题 1?an211 例3 设{an}是等差数列，bn＝?，已知：b＋b＋b＝，bbb＝，求等差数列123123 ?2?88 的通项an. 总结 (1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为d，且cn＝can (c>0且c≠1)，那么数列{cn}是等比数列，公比q＝cd. (2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，且cn＝logaan(a>0且a≠1)，那么数列{cn}为等差数列，公差d＝logaq. 变式训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； S1S2Sn(2)设bn＝log2 an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值． 12n 1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误． 2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处． 3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题. 课时作业 一、选择题 1．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．10×(1.15－1)a D．11×(1.15－1)a 22 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a2＋…＋an等于( ) 1 A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 21 C．4n－1 D.(4n－1) 3 3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 4．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( ) A．a2＋a6>a3＋a5 B．a2＋a6 5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＋a8等于( ) 211993A. B. C. D. 1616841 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题 － 6．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n1＋t，则t＝________. 7．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______. 1 8．等比数列{an}的首项a1＝511，公比q＝，记Cn＝a1·a2·a3·…·an，则当Cn达到最大 2 时，n的值是________． 三、解答题 9．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列． 10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业， 1 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少，本年度当地旅游业收入估计 5 为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1. 4 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn 的表达式； (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？ §2.5 等比数列的前n项和(二) 知识梳理 a1?1－qn?a1－anq1. na1 1－q1－q2．(1)等比 (2)q a13. q－1
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