自主探究
b
证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.
a∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn
bb?2?b?n? ＋…＋＝an?1＋a＋??a??a???
?b?n＋1?an＋1?1－?b?n＋1?an?1－??a????a??
＝＝
ba－b1－a＝
an＋1－bn＋1
a－b
＝右端．
n＋1n＋1a－b
∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝.
a－b
对点讲练
例1 证明 设{an}的公比为q， 由题设知a1>0，q>0，
2
当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－Sn＋1 2＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a21＝－a1<0.
a1?1－qn?当q≠1时，Sn＝，
1－q从而
nn＋2n＋12
a2?a2?1?1－q??1－q1?1－q22n
Sn·Sn＋2－Sn＋1＝－＝－aq<0. 122
?1－q??1－q?
综上知，Sn·Sn＋2
即>log0.5Sn＋1.
2
变式训练1 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
2222222
∴S2n＋S2n＝na1＋4na1＝5na1，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，
2∴S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．
a1当q≠1时，则Sn＝(1－qn)，
1－q
a1a1S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
1－q1－q
?a1?222
∴Sn＋S2n＝?·[(1－qn)2＋(1－q2n)2] ??1－q?
?a1?2＝?(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)． ?·1－q??
?a1?2
又Sn(S2n＋S3n)＝?·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ??1－q?
2
∴S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列性质， 有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)， S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
22n22n2n∴S2n＋S2n＝Sn＋[Sn(1＋q)]＝Sn(2＋2q＋q)， n2nSn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2q＋q)． 2∴S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．
例2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
a?1－0.910?(2)10年的出口总量S10＝ 1－0.9＝10a(1－0.910)．
8
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤， 10
1－0.9∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．
4
变式训练2 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，
5
4
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
5热气球在前n分钟内上升的总高度为： a1?1－qn?
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ 1－q
?4?n?25×?1－??5???4?n?<125. ＝＝125×?1－??5??41－5故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 例3 解 设等差数列{an}的公差为d，
?1?an＋1
bn＋1?2?1?1?d
?则＝＝?a－a＝. n＋1n22????bn1??an
?2?
1?d
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝??2?.
11
∴b1b2b3＝b32＝，∴b2＝. 82
171??b1＋b3＝?b1＝8?b1＝28
∴，解得?或?11b＝??3b1·b3＝8?b3＝2?4
???
.
1??b1＝8
当?时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去) ??b3＝2
1?n－12n－5
此时，bn＝b1qn－1＝?4＝2. ?8?·1?5－2n?1?由bn＝??2?＝?2?an， ∴an＝5－2n.
??b1＝2111?2
q＝－<0舍去? 当?时，q＝，∴q＝14?164?b3＝?8?
?1?n－1＝?1?2n－3＝?1?an， 此时，bn＝b1qn－1＝2·?4??2??2?∴an＝2n－3.
综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.
变式训练3 解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
2
∴a23＋2a3a5＋a5＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，
而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
1?n－15－n1
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×??2?＝2. 2(2)bn＝log2 an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， n?9－n?Sn9－n∴Sn＝，∴＝，
2n2
SnSn∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；
nnSn当n>9时，<0.
n
S1S2S3Sn
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．
123n
课时作业
1．D [注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11×(1.15－1)a.] 2．D [易知{an}为等比数列且an＝2n－1.
2
∴{a2n}也是等比数列，a1＝1，公比为4. n
1－41n22
∴a2＋a＋…＋a＝＝(4－1)．] 12n
1－43
1?839
3．A [小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×?＝299≈300(米)．] ?2?644．B [(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1(q＋q5)－a1(q2＋q4) ＝a1q(q4－q3－q＋1)＝a1q(q－1)2(q2＋q＋1) ∵a1<0，q>0且q≠1，q2＋q＋1>0， ∴a1q(q－1)2(q2＋q＋1)<0， ∴a2＋a6 5．A 16．－ 3 解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 1n1 又Sn＝·3＋t，∴t＝－. 33 7．0 解析 ∵a，b，c成等差数列，设公差为d， 则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz ＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz y2 ＝dlogm＝dlogm1＝0. xz 8．9 1?n－1 解析 由an＝511×??2?>1，解得n≤9. 即a1>a2>…>a9>1>a10>a11>…. ∴当n＝9时，Cn最大． 9．证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn. 要证{cn}不是等比数列，只需证c22≠c1·c3成立即可． 事实上，c22＝(a1p＋b1q)2＝a21p2＋b21q2＋2a1b1pq， c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2) ＝a21p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)． 由于c1c3－c22＝a1b1(p－q)2≠0，因此c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列． 10．解 (1)第一年投入为800万元， 1 1－?万元，…， 第二年投入为800×??5?1 1－?n－1万元． 第n年投入为800×??5?所以n年内总投入为： 11 1－?＋…＋800×?1－?n－1 an＝800＋800×??5??5?4?n－1?4 ＝800×?1＋5＋…＋??5?? ? ?4?n?. ＝4 000×?1－??5?? 1 1＋?万元，…，第n年旅第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×??4?1 1＋?n－1万元，所以n年内的旅游业总收入为： 游业收入为400×??4?11 1＋?＋…＋400×?1＋?n－1 bn＝400＋400×??4??4?5?n－1?5 ＝400×?1＋4＋…＋? ?4? ?? ?5?n－1?. ＝1 600×???4?? (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bn－an>0， ?5?n－1?－4 000×?1－?4?n?>0， 即1 600×???4????5??
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