广东省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

令g?x??0得lnx?2ax?1?0即lnx?2ax?1，所以a?lnx?1，所以函数 2xg?x?的零点个数等价于两函数

y1?a与y2?lnx?1的交点个数， 。。。。。。。。2分 2x因为 y2???lnx， 22x??????x?0,1时，y?0,y递增；x?1，??时，y?0,y2递减且y2?0， 222所以

x?1时，y2有极大值

如图所示

由图可知a?

1， 。。。。。。。。4分 21

时，两函数图像无交点，g?x?无零点； 2

当a?1 时，两函数图像有一个交点，g?x?有一个零点； 2 。。。。。。。。。。6分 （2）（解法1 ）由（1）知，a?1 时，g?x?无零点或一个零点，g?x??0，函数f?x?在定义2域内单调递减 ，函数f?x?在定义域内不单调时，a?f?x?在?2，???上单调递减时，f1 ……… 8分 2??x??0，，???时，即g?x??0恒成立，亦等价于x??2g?x?max?0， ………… ……… 9分

g??x??① 当a11?2ax?2a?， xx?0时，g??x??0，g?x?递增，g?x??g?2??ln2?4a?1?0不合题意；

11?2，此时g??x??0，g?x?递减， 时，1?22a② 当?a?14x??2，???时g?x??g?2?，由g?2??0得ln2?4a?1?0，解得a?所以

ln2?1， 4ln2?11?a? 42③ 当0?a?11???时 时，?2，x??2，2a4

x g??x? 1??2，?2a? ??正 增 1 2a0 极大值 ?1??2a,??? ??负 减 g?x? 由表可知x?11?1?时，g?x?取最大值，最大值为g???ln?ln2?0，不合题意

2a?2a?2a ………… ……… 11分 综上可得

ln2?11?a? ………… ……… 12分 42（解法2）由（1）知，a?1 时，g?x?无零点或一个零点，g?x??0，函数f?x?在定义域内单调2递减 ，函数f?x?在定义域内不单调时，a?1 ………… ……… 8分 2f?x?在?2，???上单调递减时，f??x??0，即g?x??0恒成立

由g?x??0得a?因为h??x???lnx?1lnx?1，令h?x??，则a?h?x?恒成立， ……… 9分 2x2xlnx，???时h??x??0，h?x?单调递减， ， 所以 x??222xln2?1， ……… 11分 4g?x??h?2?， 由a?h?x?恒成立得a?h?2?，解得a?综上可得

ln2?11?a? ………… ……… 12分 42??) 16、解：f(x)的定义域是(?1，2x2?2x?m f?(x)?1?x(1)由题设知，1?x?0

令g(x)?2x2?2x?m，这是开口向上，以x??在x??1时 ① 当g(?)??1为对称轴的抛物线． 21211??)上恒成立． ?m?0，即m≥时，g(x)?0，即f?(x)?0在(?1，22…………………………………………1分

②当g(?)??1211?m?0，即m?时，由g(x)?2x2?2x?m?0得x??1?1?2m 2222

令x1??则x1??11?2m11?2m ，x2????222211，x2?? …………………………………………2分 221) 当x1??11?2m1?2m1???1即?，即m?0时， 2222?1?x?x2时，g(x)?0，即f?(x)?0

x?x2时，g(x)?0，即f?(x)?0…………………………………………3分

2) 当?1?x1??111?2m11?2m10?m?时，即，即时 ???0??222222x1?x?x2时，g(x)?0，即f?(x)?0

?1?x?x1或x?x2时，g(x)?0，即f?(x)?0…………………………………………4分

综上，

11?2m11?2mm?0时，f(x)在(?1，??)上单减，在(??，??)上单增；

2222…………………………………………5分

0?m?111?2m11?2m1时，f(x)在(??，??)上单减，在(?1，??2222221?2m)和211?2m(??，??)上单增； …………………………………………6分 221

??)上单增． …………………………………………7分 m≥时，f(x)在(?1，2

(2)若函数f(x)有两个极值点x1、x2，且x1?x2 则必是0?m?111?2m1，则0??，则?1?x1???x2?0， 2222x2)上单减，在(?1，x1)和(x2，??)上单增， 且f(x)在(x1，则f(x2)?f(0)?0 …………………………………………8分

Qx1、x2是g(x)?2x2?2x?m?0的二根

?x1?x2??1???m，即x1??1?x2，m?2x1x2 …………………………………9分

x1x2???2?若证2f(x2)??x1?2x1ln2成立，只需证

2f(x2)?2x22?2mln(1?x2)?2x22?4x1x2ln(1?x2)

2?2x2?4(1?x2)x2ln(1?x2)??(?1?x2)?2(?1?x2)ln2

?1?x2?2(1?x2)ln2

即证2x2?4(1?x2)x2ln(1?x2)?(1?x2)(1?2ln2)?0对?2设?(x)?2x?4(1?x)xln(1?x)?(1?x)(1?2ln2)(?21?x2?0恒成立 ……10分 21?x?0) 2??(x)??4(1?2x)ln(1?x)?ln

当?4e14?x?0时，1?2x?0，ln(1?x)?0，ln?0 2e故??(x)?0

12111111故?(x)??(?)?2??4??(?)?ln??(1?2ln2)?0 …………………11分

24222212?4(1?x2)x2ln(1?x2)?(1?x2)(1?2ln2)?0对??x2?0恒成立 ?2x220)上单增 故?(x)在(?，?2f(x2)??x1?2x1ln2 …………………………………………12分