08届高三数学平面与空间直线

第七章 直线、平面、简单几何体

考试内容： 9（A）．平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．

平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．

直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．

平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 9（B）．平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．

直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．

空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．

直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．

考试要求 9（A）．（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形．能够根据图形想像它们的位置关系．

（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定量．掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．

（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念．掌握三垂线定理及其逆定理． （4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． （5）会用反证法证明简单的问题．

（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．

（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式． 9（B）．（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．

（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．

（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．

（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算．

（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．

（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．

（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．掌握直线和平面垂直的性质定理．掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理

（8）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．

（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．

g3.1060平面与空间直线

一.知识回顾: (一)平面：

1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 3、平面的表示：

（1）用一个小写的希腊字母?、?、?等表示，如平面?、平面?；

（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC (二)三公理三推论:

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.

A?l,B?l,A??,B???l??

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (三)空间直线:

1.空间两条直线的位置关系：

（1）相交直线——有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；

（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线．

异面直线的画法常用的有下列三种：

bb?b

a aa???

2. 平行直线：

在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3.等角定理

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． 4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：A??,B??,a??,B?a?AB与a是异面直线 二基本训练：

1．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，?、?表示不同的平面，下列推理不正确的是

（ ）

(A)A?l,A??,B?l,B???l??

(B)A??,A??，B??,B???????AB直线 (C)l??,A?l?A??

(D)A,B,C??，A,B,C??且A,B,C不共线??与?重合 选C

?2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面

积是 （ ）

(A)122 (B)1? (C)1?2 (D)2?2 ?222选D

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；

③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

选B

4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．

答案：7个．

三．例题分析：

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．

A

解：∵AB∥CD，

B D ∴AB，CD确定一个平面β．

C H 又∵AB?α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，

G E F α 即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线．

说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A， 但A?d，如图1．

∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G， 则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α． 同理可证b?α，c?α． ∴a，b，c，d在同一平面α内．

2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α． 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α． 又 H，K∈c，∴c?α． 同理可证d?α．

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

a 图2 a E

A d

F b G c α 图1

α d c H K

b

说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

例3．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A?a，B?a，C?b，D?c，求证：AD与BC是异面直线． 证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α， 那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都 在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， ∴AD和BC是异面直线。

证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，AD?平面α，B?AD，∴AD和BC是异面直线。

四、作业同步练习g3.1060平面与空间直线

1．下列四个命题：

（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面

（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面 其中真命题个数为 （ ）

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

'''''2．在正方体ABCD?ABCD中，M、N分别是棱AA和AB的中点，P为上底面ABCD的中心，则直线PB与

MN所成的角为（ ）

(A)300 (B)450 (C)600 (D)

3．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（ ）

(A)25厘米 (B)39厘米 (C)25或39厘米 (D)15厘米

4．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，则这样的直线b有（ ）

(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)无数条

5．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

6．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小 ．

7．在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．

8．两条异面直线a、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为____________________．