1
∴PF＝d. 2
如图，过点P，A作l的垂线PP1，AA1，垂足分别为P1，A1，
15
则PA＋PF＝PA＋PP1≥AA1＝.
22∴当点P为AA1与双曲线的交点，即P?
1?23?
，1?时，PA＋PF的值最小．
2?3?
1
反思与感悟 一般地，在圆锥曲线上求一点P，使PA＋PF(其中A是圆锥曲线内部的定点，
eF是焦点，e是离心率)最小时，都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．
跟踪训练3 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
259(1)求MA＋MB的最大值和最小值； 5
(2)求MB＋MA的最小值及M的坐标．
4
解 (1)如图所示，由＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.
259
x2y2
x2y2
所以点A(4,0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为F(－4,0)．
则MA＋MF＝2a＝10，即MA＋MB＝10－MF＋MB. 因为|MB－MF|≤BF＝?－4－2?＋?0－2?＝210，
所以－210≤MB－MF≤210，故10－210≤MA＋MB≤10＋210.即MA＋MB的最大值为10＋210，最小值为10－210.
25
(2)由题意知，椭圆的右准线为x＝，过M点作右准线的垂线，垂足为M′，由圆锥曲线的
4统一定义知，
2
2
MA455
＝e＝，即MA＝MM′.所以MB＋MA＝MB＋MM′.当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有MM′544
5
2517x255
最小值，最小值为BM′＝－2＝.当y＝2时，由＋＝1，解得x＝5或x＝－5(舍
22
4425933去)，此时点M的坐标为?
?5?35，2??
?
.
1．中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为1
2的椭圆方程为________．
答案
x2y2
16＋12
＝1 由题意，得e＝c1a2
解析a＝2，c＝8，
∴a＝4，c＝2，∴椭圆方程为x2y2
16＋12
＝1.
62．已知双曲线3x－y＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________． 答案 2
122222
解析 双曲线的方程可化为－＝1，则a＝3，b＝9，故c＝12，e＝＝4，则e＝2.
393因此所求比值为2.
3．若双曲线－＝1上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是
6436________． 答案
32 5
22
x2y2
y2x2
解析 设点P到上准线的距离为d， 81032由＝，得d＝. d85
4．椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么点P到右焦点的距离为
259________． 答案 8
x2y2
c4
解析 如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，
a5
PF14
而＝e＝，∴PF1＝2， 2.55
∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.
5．已知抛物线y＝4x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为________． 答案 4
解析 由抛物线定义知点M到准线x＝－1的距离为5， 所以点M到y轴的距离为4.
1．圆锥曲线的统一定义给出了三个量：定点F，定直线l及常数e.其中要求定点F不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线距离的比值，两者顺序不可颠倒． 2．在圆锥曲线中，椭圆与双曲线都有两个焦点，两条准线．在椭圆或双曲线中，图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率．
7
2
3．圆锥曲线中求线段和最值的问题，充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”，进而求出最值．
一、填空题
1．设双曲线的焦距为2c，两条准线间的距离为d，且c＝d，那么双曲线的离心率e＝________. 答案
2 2a2
2
2
2
c2解析 ＝c，c＝2a，e＝2＝2，e＝2.
ca1
2．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为的椭圆的标准方程是________．
2答案
y2x2
4
＋＝1 3
??解析 依题意得?c1
＝，a2??a＝b＋c，
2
2
2
a2
＝4，c
|y＋4|
??a＝4，解得?2
??b＝3.
2
故椭圆的标准方程是＋＝1.
43
3．到直线y＝－4的距离与到A(0，－2)的距离的比值为2的点M的轨迹方程为________． 答案
y2x2
y2x2
8
＋＝1
4
解析 设M(x，y)，由题意得
x2＋?y＋2?2
＝2.化简得＋＝1.
84
y2x2
9
4．椭圆＋＝1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是________．
2592答案 8
x2y2
a22525259
解析 准线方程为x＝±＝±，则两准线间的距离为，故所求的距离为－＝8.
c4222x2y2
5．已知双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，则此双曲线两条准线间的距离为
m4
________． 答案 22 解析 由题意知，2
m＝1，m＝4，准线方程为x＝±44＋4
＝±2，故两条准线间的距离为
8
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