2013北京东城区高三一模数学试题（文）带答案

根据题意， 可设直线MN的方程为y?k(x?2)，

由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y??设M(x1,y1)，N(x2,y2).

?y?k(x?2),?由方程组?x2y2消y得

??1?4?8(2k?1)x?8kx?8k?8?0.

22221k(x?2).

则 x1?x2??8k222k?12,x1x2?8k?82k?1222.

所以MN?1?k?(x1?x2)?4x1x2=242(1?k)2k?122.

同理可得PQ?42(1?k)k?22.

所以

1|MN|?1|PQ|?2k?142(1?k)22?k?242(1?k)22?3k?342(1?k)22?328.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当S?(?1,3)时，C(A,S)取得最大值为2．

（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a,b,c三个“元”

33的对称性，可以只计算C(A,S)?(a?b)的最大值，其中a?b?c?1．

222由(a?b)2?a2?b2?2ab?2(a2?b2)?2(a2?b2?c2)?2， 得 ?2?a?b?2．

22当且仅当c?0，且a?b?33时，a?b达到最大值2，

6于是C(A,S)?(a?b)?3．

②当0不是S中的“元”时，计算C(A,S)?33(a?b?c)的最大值，

由于a2?b2?c2?1，

所以(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc． ?3(a2?b2?c2)?3， 当且仅当a?b?c时，等号成立． 即当a?b?c?3时，a?b?c取得最大值3，此时C(A,S)?3 (a?b?c)?1．

3综上所述，C(A,S)的最大值为1． 3