高等数学习题精选精解2

?1101、幂级数

?n2n?13)的收敛半径R??n?12n?(?nx? ?1102、求?x2n?1?x2?x4???x2n??的收敛区间n?0(2n)!2!4!(2n)!

?1103、

?an(x?x0)n，求其收敛半径

n?0?1104、设级数

?an?n?1nx的收敛半径为3，则幂级数n(x?1)的收敛区间为（ ）

n?0?nan?1?1105、设有级数

?ax?1n()n，若lim|an1n?02|?，则该级数的收敛半径为（ ）

n??an?13?n?、若级数?aanxn1106nx的收敛域为(?8,8]，则n?1?的收敛半径为（ n?2n(n?1)）

??1107、设幂级数?axn?与?bn51a2nnnnx的收敛半径分别为和，则幂级数n?1n?133?b2x的收敛半径是n?1n（1）5（2）

53（3）113（4）5

??1xn1108、求幂级数n?13n?(?2)nn的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性 ?1109、设p为正数，试对p的不同值，讨论幂级数?xnn?1(n?1)p的收敛域 ?1110、求幂级数?xnn的收敛域，其中a,b均为大于零的常数 n?1a?bn?1111、求

?nxn?1的收敛域及和函数，并求级数

??n的和S n?1n?12n?1112、求幂级数

?1xn?1的收敛域，并求和函数 n?1n?2n??1113、求幂级数

1?1)xn的收敛域，并求和函数 n?1n(n?、求幂级数?xn?11141n?2n2?1的和函数，并求级数?(n2?1)2的和S n?2n

） （

1115、求幂级数

?(n?1??1?1)x2n在区间(?1,1)内的和函数 2n?11)x2n的收敛区间与和函数f(x)

n(2n?1)1116、求幂级数

?(?1)n?1(1?n?1x2n1117、求幂级数1??(?1)(|x|?1)的和函数f(x)及其极值

2nn?1?n(?1)n?1x2n?11118、求幂级数?的收敛域及和函数S(x)

n?1n(2n?1)?1119、利用逐项求导，逐项微分求下面级数在其收敛区间上的和函数：

2n?12n?2，|x|?2，并求x?n2n?1??2n?1 n2n?12n?22n?1的收敛域，并求其和函数 x?n!n?1??1120、求幂级数

1121、

1n?1n()??? ?2n?1??(?1)n(n2?n?1)1122、求级数? n2n?0?1123、设In??40sinxcosxdx,n?0,1,2,?，求?In

n?n?01124、将函数f(x)?ex展开成x的幂级数 1125、将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数 1126、将函数f(x)?11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数 41?x2?1?x2?(?1)narctanx,x?0?1127、设f(x)??x，试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数? 2n?11?4n?1,x?0?1128、将函数f(x)?xractanx?ln1?x2展开成x的幂级数

?1?2x(?1)n1129、将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和

1?2x2n?1n?0

1130、将函数f(x)??x0ln(1?x)dx展开成x的幂级数 x1131、试将f(x)?cosx展开成x的幂级数

?dex?1n()为x的幂级数，并求?1132、展开的和 dxxn?1(n?1)!1133、将f(x)?e?x展开成x的幂级数 1134、将f(x)?1135、将f(x)?2x展开成x?5的幂级数 2x?5x?61展开成x?2的幂级数

x(x?1)1展开成x?1的幂级数，并证明

x2?3x?21136、将f(x)???11111n?11（1）?(n?n)?（2）?(?1)(n?n)?

122233n?1n?121137、将f(x)?x展开成x的幂级数 22?x?x1138、将函数y?ln(1?x?2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间 1139、将函数f(x)?x展开成x的幂级数 21?x1140、将函数f(x)?sinx在点x0??4展开成幂级数

2x2(6)1141、设f(x)?，求f(0) 21?xa0?1142、设函数f(x)??x?x(???x??)的傅立叶级数展开式为??(ancosnx?bnsinnx)，则其

2n?12系数b3??? 1143、设x?3?an?0?ncosnx(???x??)，则a2???

1144、设f(x)是以2?为周期函数，且其傅立叶系数为an,bn，试求f(x?h)(h为实数）的傅立叶系数

????,bn???? an1145、设f(x)是可积函数，且在[??,?]上恒有f(x??)?f(x)，则a2n?1???,b2n?1???

?x??,???x?05?1146、设f(x)??为T?2?的周期函数，则其傅立叶级数在x?处收敛于（ ）

2x??,0?x???a0??x,???x?01147、已知f(x)??的傅立叶级数为??(ancosnx?bnsinnx)，其和函数为S(x)，

2n?1?1?x,0?x??则S(1)???,S(0)???,S(?)??? 1148、设f(x)?x,0?x?1，而S(x)?2?bnsinn?x，其中bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,?，则

n?1?101S(?)???

2??1,???x?01149、设f(x)??，则其以2?为周期的傅立叶级数在点x??收敛于（ ） 2?1?x,0?x??1150、设函数f(x)是以2?为周期的周期函数，且在闭区间[??,?]有f(x)??的傅立叶级数在点x??收敛于（ ） （1）1??（2）1??（3）1（4）0

?1?x,???x?0，则f(x)?1?x,0?x???0,???x?01151、将函数f(x)??展开成傅立叶级数

x,0?x???1152、将函数f(x)?|sinx|(???x??)展开成傅立叶级数 1153、将函数f(x)?cosx在区间[0,?]上展开成正弦级数 1154、将f(x)?x在区间(0,?)上展开成余弦级数，并求级数

21的和 ?2n?1(2n?1)?1155、把函数f(x)?（1）??4在[0,?]上展开成正弦级数，并由他推导出

111?11111??????（2）1???????? 35745711131731?x,0?x??a0??21156、设f(x)??，S(x)???ancosn?x,???x???，其中

2n?1?2?2x,1?x?1?2?15an?2?f(x)cosn?xdx(n?0,1,2?)，则S(?)???

021157、将函数f(x)???k,?2?x?0（常数k?0)展开成傅立叶级数

?0,0?x?2