1158、将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦级数
1159、将函数f(x)?2?|x|(?1?x?1)展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求级数
?nn?1?12的和
(?1)n1160、将函数y?x,x?[?1,1]，展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求数项级数?的和 2n?1n2?1161、若级数
?an?1?n收敛，则（ ）
（1）
?(an?1??n?an?1)收敛（2）?a2n收敛（3）?anan?1收敛（4）?(?1)nan收敛
n?1n?1n?1???1162、设有以下命题： ①若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1?②若
?un?1n收敛，则
?un?1?n?1000收敛
?un?1③若lim?1，则?un发散
n??un?1n???④若
?(un?1n?vn)收敛，则?un、?vn都收敛
n?1n?1则以上命题中正确的是（ ） （1）①②（2）②③（3）③④（4）④① 1163、设pn??an?|an||a|?an，qn?n，n?1,2,3,?则下列命题正确的是（ ） 22（1）若
?an?1?n条件收敛，则
?pn?1??n与
?qn?1??n都收敛（2）若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n都收敛
（3）若
?an?1?n条件收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n的敛散性不定
（4）若
?an?1n绝对收敛，则
?pn?1n与
?qn?1n的敛散性不定
?1164、已知an??x012(1?x)dx，（n?1,2,3,?）证明：?an收敛，并求其和
nn?121165、设有两条抛物线y?nx?
112和y?(n?1)x?，记它们交点的横坐标的绝对值为an。 nn?1
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；（2）求级数
Sn的和 ?n?1an?21166、从点P1(1,0)作x轴的垂线，交抛物线y?x于点Q1(1,1)，再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于
P2，然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线y?x2于点Q2，依次重复上述过程得到一系列的点
P1,Q1,P2,Q2?Pn,Qn,?求
（1）求OP的长（2）求级数Q1P1?Q2P2???QnPn??的和 1167、判断级数
?arctann?1?1的敛散性，若此级数收敛，则求其和 22n?11?21168、已知?2?，求级数?的和 26(2n?1)nn?1n?1?(?1)n1169、判断级数?的敛散性 pn?1n?(?1)n1170、判断级数?(p?o)的敛散性，并说明是绝对收敛、条件收敛还是发散？ np[n?(?1)]n?1?5nn!1171、计算lim???
n??(2n)n1172、设a1?2，an?1??a11（1）liman存在，（2）?(n?1)发散 ?(an?)，n?1,2,3,?，证明：
n??2ann?1an?11173、设an?敛
1174、若级数
?40tann?an1xdx，（1）求?(an?an?2)的值（2）试证：对任意的常数??0，级数??收
nn?1n?an?1?n及
?bn?1?n都发散，则
???（1）
?(an?1?n22?bn)必发散（2）?anbn必发散（3）?(|an|?|bn|)必发散（4）?(an?bn)必发散
n?1n?1n?11175、设正项数列?an?单调减少，且
?(?1)an发散，试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛？并说明理由 an?1n1176、设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数，证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当a?1时，
级数
?xn?1?an收敛
1177、判断级数
1n?1(?ln)的敛散性，并证明：lim?n??nnn?1?1?11???2n?1 lnn1178、设偶函数f(x)的二阶导数f??(x)在x?0的某邻域内连续，且f(0)?1，f??(0)?2，试证明级数
1[f()?1]绝对收敛 ?nn?11179、设级数
??(un?1?n（1）存在正数M，使|un|?M，?un?1)收敛，而?vn是收敛的正项级数，证明：
n?1??n?1,2,3?（2）级数?unvn绝对收敛
n?11180、已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?x?n?1x?ee(n为正整数）且fn(1)?，求函数项级数?fn(x)之和
nn?1?1181、设In??40sinxcosxdx，n?1,2,3?，求?In
nn?0x3x6x3n1182、（1）验证函数?y(x)?1???????(???x???)满足微分方程
3!6!(3n)!x3n（2）利用（1）的结果求幂级数?的和函数 y???y??y?e：
(3n)!n?0x?1183、设f(x)是以2?为周期的连续函数，并且其傅立叶级数系数为a0,an,bn（n?1,2,3?） （1）试求G(x)?f(t)f(x?t)dt的傅立叶系数A,A,B（n?1,2,3?） ????1?0nn（2）利用上述结果证明：
1?????2?a022f(x)dx???(an?bn)
2n?12第十二章 微分方程
1184、求关于给定的原始式所满足的微分方程 （1）y?Ax?Bx?c，其中A,B,C为任意常数
2
（2）y?Acosax?Bsinax，其中A,B为任意常数，a为一固定常数 1185、求以y?C1ex?C2e?x?x为通解的微风方程，C1,C2为任意常数 1186、写出由下列确定的曲线所满足的微分方程
（1）曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方
（2）曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分 1187、指出下列各题中的函数是否为所给方程的解：
（1）y???y?0，y?3sinx?4cosx，（2）y???2y??y?0，y?x2ex
exdx?C)是否为方程xy??y?xex的通解 1188、判断y?x(?x1189、方程y????1的通解是（ ） 3x21111（1）lnC1x?C2（2）lnC1x?C2x（3）2x?lnC1x3?C2（4）lnC1x?2xC2
3331190、在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）x2?y2?C，yx?0（2）y?(C1?C2x)e2x，y?5，
x?0?0，y?x?0?1
1191、设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(?1,0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。 1192、已知曲线y?f(x)过点(0,?)，且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln( 1?x2)，则f(x)???。1193、微分方程y??12y(1?x)的通解是（ ） x1194、微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解是（ ） 1195、求方程(x?1)y??1?2e?y的通解 1196、若连续函数f(x)满足关系式f(x)?（1）eln2（2）ex2x?2x0tf()dt?ln2，则f(x)???。 2ln2（3）ex?ln2（4）e2x?ln2
21197、求微分方程y??xy??a(y?y?)的通解 1198、求secxtanydx?secytanxdy?0的通解 1199、求解微分方程：(ex?y22?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0
y?x??，且当?x?0时，?是?x的高阶无穷小，21?x1200、已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?
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