2.2.2 事件的相互独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
31
解析：①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，P(N)＝，即事件M的结果对事件N52111
的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)
224＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．
答案：C
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b C．(1－a)(1－b)
B．1－ab
D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
甲 乙
A.
1131
B. C. D. 168164
1
解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
所以所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝. 答案：C
23
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加
34工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
1511A. B. C. D. 21246
2113523115解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
343412343412答案：B
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别112
为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) 323
1117A. B. C. D. 96318
11
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)
322
＝，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生， 3
114411114444316
?1?121?1?211?2?7
故概率P＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝. ?3?233?2?332?3?18
答案：D 二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)1601803
＝P(M)P(N)＝×＝.
2002405
3答案：
5
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
2
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.
答案：0.95 三、解答题
1
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
2
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[111?11?3
－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝××?1－×?＝.
22?22?16
313
所以灯亮的概率为1－＝.
1616
10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和452
水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互563相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．
45?2?2
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××?1－?＝，
56?3?9只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 4?5?24×?1－?×＝，
6?3455?
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
?1－4?×5×2＝1，
?5?639??
24119所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝. 945945
3
(2)三个项目全部失败的概率为
?1－4?×?1－5?×?1－2?＝1， ?5??6??3?90??????
189所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
9090
B级 能力提升
11
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸322
出一个球，则等于( )
3
A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率
11
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、
32
— — B相互独立，所以1－P(A )P(B )＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．
解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥， C2C44C2C11
又P(A)＝2＝，P(AB)＝2＝，
C55C55C2C22
P(AC)＝2＝，
C55故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A) ＝
1111
11
231223
P（AB）P（AC）3
＋＝. P（A）P（A）4
3答案：
4
12
3．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，
23
4
3
事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
4
(1)事件A，B，C只发生两个； (2)事件A，B，C至多发生两个．
解：(1)记事件“A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括A·B·C，A·B·C，A·B·C三种彼此互斥的情况．
由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(A·B·C)＋
P(A·B·C)＋P(A·B·C)＝＋＋＝，所以事件A，B，C只发生两个的概率为.
(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，
111281114241124
C一个也不发生，
记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5， 16113
故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.
24242443
所以事件A，B，C至多发生两个的概率为.
4
5
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