（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F作两条斜率都存在的直线l1,l2，设l1与椭圆C交于A,B两点，l2与椭圆C交于G,H两点，若AF是AH?FH与AH?FH的等比中项，求AFBF+GFHF的最小值．
36x2y2【答案】（1）??1；（2）.
743【解析】（1）求出抛物线E:y2?4x的焦点可得c?1，再根据离心率e?1a?2，从而求得 2可得b2?3，进而可得结果；（2）先利用勾股定理证明l1?l2，可设直线l1:x?ky?1?k?0?，直线l2:x??1y?1，分别与椭圆方程联立，根据韦达定理，两点间距离公式求得k???1?21?1?12?，利用基AF?FB?GF?FH?9?k?1???2?2? ，化为??1?13k?44k?34?????12?k2?2??25???k????本不等式求解即可. 【详解】
（1）依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为?1,0?，即c?1， 又e?c1?， a22x2y2?1. 所以a?2，b?3，故椭圆C的标准方程为?43（2）因为AF是AH?FH与AH?FH的等比中项， 所以AF?AH?FH，即AF?FH?AH， 所以直线l1?l2，
又直线l1，l2的斜率均存在， 所以两直线的斜率都不为零，
故可设直线l1:x?ky?1?k?0?，直线l2:x??1y?1， k222222A?x1,y1?，B?x2,y2?，G?x3,y3?，H?x4,y4?，
?x2y2?1??22由?4消去x，得?3k?4?y?6ky?9?0， 3?x?ky?1??6k?y?y?2??13k2?4所以?，
?9?yy??123k2?4?6k?y?y?34??3?4k2同理得?, 2?yy??9k34?3?4k2?所以AF?FB?GF?FH??x1?1?22?y12??x2?1?222?y2?1?k2y1y2，
???x3?1?2?y3??x4?1?1??2?y4??1?2?y3y4,
?k?1??AF?FB?GF?FH?1?k2y1y2??1?2?y3y4
?k????1?k?2?91?9k2??2??1?2??2 3k?4?k?4k?31??1?9k2?1??2?2? 3k?44k?3?????63k4?2k2?1?12k4?25k2?12?
?4222112k?25k?12?k ??412k4?25k2?12????21?1?, ???1?14???12?k2?2??25???k????2又k2?0，所以k?1?2， k2???21?21?11?36????1?????1?（当且仅当k2?1时取等号），
1?4?4?49?7?12?k2?2??25???k????故AF?FB?GF?FH的最小值为【点睛】
本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
36. 7
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