(3)金属球的电势．
??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q
S(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?Qr; D?,E内?334πr4π?0?rr介质外(r?R2)场强
??Qr?Qr D?,E外?4πr34π?0r3 (2)介质外(r?R2)电势
U??介质内(R1?r?R2)电势
?r??E外?dr?Q
4π?0rU??
?r?????E内?dr??E外?drr
?11Q (?)?4π?0?rrR24π?0R2q? (3)金属球的电势
Q1??1(?r)
4π?0?rrR2R2?????U??E内?dr??E外?dr
R1R2R2??Qdr4π?0?rr2R??Qdr
R24π?r20??Q1??1(?r)
4π?0?rR1R28-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为
?r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度
的比值．
解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为?2与?1
????由?D?dS??q0得
D1??1，D2??2
而 D1??0E1,D2??0?rE2
E1?E2?∴
U d?2D2???r ?1D1
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且
l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等
量异号电荷Q和-Q时，求：
(1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容．
解: 取半径为r的同轴圆柱面(S)
??则 ?D?dS?2πrlD
(S)当(R1?r?R2)时，
?q?Q
Q 2πrl∴ D?D2Q2?(1)电场能量密度 w? 2?8π2?r2l2Q2Q2dr2πrdrl?薄壳中 dW?wd?? 2228π?rl4π?rl(2)电介质中总电场能量
W??dW??VR2R1RQ2drQ2?ln2 4π?rl4π?lR1Q2(3)电容：∵ W?
2CQ22π?l∴ C? ?2Wln(R2/R1)*8-30 金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的
中心放一点电荷q1，在B的中心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求： (1) q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；
(2)去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加速度． 解: (1)q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即
F?1q1q2 24π?0r但q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度． ．．
(2)去掉金属壳B，q1作用在q2上的库仑力仍是F?受合力不为零，有加速度．
1q1q2，但此时q224π?0r
题8-30图 题8-31图
8-31 如题8-31图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：UAB． 解: 电容C1上电量
Q1?C1U1
电容C2与C3并联C23?C2?C3 其上电荷Q23?Q1 ∴ U2?Q23C1U125?50 ??C23C233525)?86 V 35UAB?U1?U2?50(1?8-32 C1和C2两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V解: (1) C1与C2串联后电容
?
C??(2)串联后电压比
C1C2200?300??120 pF
C1?C2200?300
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