初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数 偶数
内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数
是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
奇数集?奇数 整数? 或 整数集合 偶数集?偶数 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数， （2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
??x1x2x3?xn?n① ?x?x?x???x?0②?23n?1如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适
合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
例3己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x2－y2＝60的正整数解 解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数
因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
??x?y?30x?y?2 ?x?y?10???x?y?6 解得??x?16 ??y?14?x?8?y?2
∴方程
x2－y2＝60
的正整数解是??x?16?x?y?14 ??8
?y?2
练习17 1． 选择题
①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（ ）
（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ （A）??x?51（B）??x?329（C）?x?653?x?978?y?86??171（D）?y??y??y?256
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤100??????01能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿ n位3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( ) (A)??x?78?y?91 (B)??x?84?x?88?x?81?y?92 (C)??y?93 (D)??y?91
9. 十进制中，六位数19ab87能被33整除，求a,b的值
）
初中数学竞赛辅导资料（18）
整式的整除
内容提要
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一
个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x2－3x－4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。 4． 在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 例题
例1己知 x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3 解法一：列竖式做除法 （如右） x－2 x2－5x+m 由 余式m－6＝0 得m=6 x2－2x 解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6 解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数)
那么 x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝ x2+(a-2)x－2a 根据左右两边同类项的系数相等，得
?a?2??5?a??3 解得? （本题解法叫待定系数法） ??2a?mm?6??例2 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除 求：m、n 的值及商式
解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）
∴商式可设为x2+ax+b
得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）
＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得
?a?2??5?a??3?b?1?2a?11?b?n?? ? 解得? ?a?2b?m?m??11???1b?n?n?4∴m=－11, n=4, 商式是x2－3x+4
例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除? 解：当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0 即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0
把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值 ， 当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。 例4 分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1） 解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
练习18
1． 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___ 2． x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿ 3． 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
4． 己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值 5． 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式 6． 己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b. 7． 分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3 8.选择题
① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（ ）
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
）
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
内容提要和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1
① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平
方数）
② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除
法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±可知只有当x=解：∵x=
13，±，再分别以这些商代入原式求值， 221时，原式值为0。故可知有因式2x-1 21时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1， 2设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， （a是待定系数） 比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6 ∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数， 比较右边和左边的x和y两项 的系数，得
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