第八节 函数与方程
函数的零点与方程的根
(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的
个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点 1．函数的零点 (1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数
易误提醒
(x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．
所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[自测练习]
?1?x
1．函数y＝|log2x|－?2?的零点个数是( )
??
A．0 C．2
??
B．1 D．4
??
?1??1?
解析：令y＝|log2x|－?2?x＝0，即|log2x|＝?2?x，在同一坐标系下作?1?x
出y＝|log2x|和y＝?2?的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数
??
有2个零点．
答案：C
1
2．(2016·东城期末)函数f(x)＝ex＋2x－2的零点所在的区间是( )
1??
A.?0，2?
?
?
?1?B.?2，1? ?
?
C．(1,2) D．(2,3)
??
?1?1
解析：∵f′(x)＝ex＋2＞0，∴f(x)在R上单调递增，又f?2?＝e－?1?773
??，1
4＜3－4＜0，f(1)＝e－2＞0，∴零点在区间?2?上．
答案：B
知识点二 二分法 二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
必备方法 用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度
上来判断．
[自测练习]
3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x ex x＋2 A.(1,2) C．(－1,0)
－1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 B．(0,1) D．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：A、
考点一 判定函数零点所在区间|
6
1．已知函数f(x)＝x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) C．(2,4)
B．(1,2)
D．(4，＋∞)
3
解析：因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝2－1
log24＝－2<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
答案 C
相关推荐：
loading